Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfzo0 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ) |
2 |
|
elfzo0 |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) |
3 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
4 |
3
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
5 |
|
nn0re |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
6 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
7 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
8 |
4 6 7
|
syl2anr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) → ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
9 |
|
nn0re |
⊢ ( 𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ ) |
10 |
9
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) → 𝐼 ∈ ℝ ) |
11 |
10
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) → 𝐼 ∈ ℝ ) |
12 |
|
lenlt |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑁 − 𝐴 ) ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ) |
13 |
12
|
bicomd |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) → ( ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ↔ ( 𝑁 − 𝐴 ) ≤ 𝐼 ) ) |
14 |
8 11 13
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) → ( ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ↔ ( 𝑁 − 𝐴 ) ≤ 𝐼 ) ) |
15 |
14
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → ( 𝑁 − 𝐴 ) ≤ 𝐼 ) |
16 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ ) |
17 |
16
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
18 |
|
nn0z |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
20 |
|
zsubcl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℤ ) |
21 |
17 19 20
|
syl2anr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) → ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℤ ) |
22 |
|
ltle |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁 ) ) |
23 |
5 4 22
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) → ( 𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁 ) ) |
24 |
23
|
impancom |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) → ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) → 𝐴 ≤ 𝑁 ) ) |
25 |
24
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) → 𝐴 ≤ 𝑁 ) |
26 |
|
subge0 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝑁 − 𝐴 ) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁 ) ) |
27 |
4 6 26
|
syl2anr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝑁 − 𝐴 ) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁 ) ) |
28 |
25 27
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) → 0 ≤ ( 𝑁 − 𝐴 ) ) |
29 |
|
elnn0z |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ) |
30 |
21 28 29
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) → ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℕ0 ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℕ0 ) |
32 |
|
simplr1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → 𝐼 ∈ ℕ0 ) |
33 |
|
nn0sub |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 − 𝐴 ) ≤ 𝐼 ↔ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ℕ0 ) ) |
34 |
31 32 33
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → ( ( 𝑁 − 𝐴 ) ≤ 𝐼 ↔ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ℕ0 ) ) |
35 |
15 34
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ℕ0 ) |
36 |
|
elnn0uz |
⊢ ( ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ℕ0 ↔ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
37 |
35 36
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
38 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
39 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
40 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝐼 ∈ ℝ ) |
41 |
40
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ) → 𝐼 ∈ ℝ ) |
42 |
3
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
43 |
42
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
44 |
42 5 7
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ) → ( 𝑁 − 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
45 |
41 43 44
|
ltsub1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ) → ( 𝐼 < 𝑁 ↔ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ) ) |
46 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
47 |
46
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
48 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
49 |
|
nncan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
50 |
47 48 49
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
51 |
50
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ) → ( ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ↔ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) |
52 |
51
|
biimpd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ) → ( ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) |
53 |
45 52
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ) → ( 𝐼 < 𝑁 → ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) |
54 |
53
|
ex |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℕ0 → ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐼 < 𝑁 → ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) ) |
55 |
54
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) → ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐼 < 𝑁 → ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) ) |
56 |
55
|
com3l |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐼 < 𝑁 → ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) → ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) ) |
57 |
56
|
3impia |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) → ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) → ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) |
58 |
57
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) → ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) |
59 |
58
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) |
60 |
37 39 59
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → ( ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) |
61 |
60
|
exp31 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) → ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁 ) → ( ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) → ( ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) ) ) |
62 |
2 61
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁 ) → ( 𝐼 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) → ( ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) ) ) |
63 |
62
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁 ) → ( 𝐼 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) → ( ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) ) ) |
64 |
1 63
|
sylbi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐼 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) → ( ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) ) ) |
65 |
64
|
3imp |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → ( ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) |
66 |
|
elfzo2 |
⊢ ( ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) < 𝐴 ) ) |
67 |
65 66
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ¬ 𝐼 < ( 𝑁 − 𝐴 ) ) → ( 𝐼 − ( 𝑁 − 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝐴 ) ) |