Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
reltpos |
⊢ Rel tpos tpos 𝐹 |
2 |
|
relinxp |
⊢ Rel ( 𝐹 ∩ ( ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) × V ) ) |
3 |
|
relcnv |
⊢ Rel ◡ dom tpos 𝐹 |
4 |
|
df-rel |
⊢ ( Rel ◡ dom tpos 𝐹 ↔ ◡ dom tpos 𝐹 ⊆ ( V × V ) ) |
5 |
3 4
|
mpbi |
⊢ ◡ dom tpos 𝐹 ⊆ ( V × V ) |
6 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) → 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ) |
7 |
5 6
|
sselid |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) → 𝑤 ∈ ( V × V ) ) |
8 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ ( V × V ) ) → 𝑤 ∈ ( V × V ) ) |
9 |
|
elvv |
⊢ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
10 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ) ) |
11 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
12 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
13 |
11 12
|
opelcnv |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∈ dom tpos 𝐹 ) |
14 |
10 13
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∈ dom tpos 𝐹 ) ) |
15 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → { 𝑤 } = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 } ) |
16 |
15
|
cnveqd |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ◡ { 𝑤 } = ◡ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 } ) |
17 |
16
|
unieqd |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ∪ ◡ { 𝑤 } = ∪ ◡ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 } ) |
18 |
|
opswap |
⊢ ∪ ◡ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 } = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 |
19 |
17 18
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ∪ ◡ { 𝑤 } = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ) |
20 |
19
|
breq1d |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 tpos 𝐹 𝑧 ) ) |
21 |
14 20
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∈ dom tpos 𝐹 ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 tpos 𝐹 𝑧 ) ) ) |
22 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∈ V |
23 |
|
vex |
⊢ 𝑧 ∈ V |
24 |
22 23
|
breldm |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 tpos 𝐹 𝑧 → 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∈ dom tpos 𝐹 ) |
25 |
24
|
pm4.71ri |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 tpos 𝐹 𝑧 ↔ ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∈ dom tpos 𝐹 ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 tpos 𝐹 𝑧 ) ) |
26 |
|
brtpos |
⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 tpos 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 𝐹 𝑧 ) ) |
27 |
26
|
elv |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 tpos 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 𝐹 𝑧 ) |
28 |
25 27
|
bitr3i |
⊢ ( ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∈ dom tpos 𝐹 ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 𝐹 𝑧 ) |
29 |
21 28
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 𝐹 𝑧 ) ) |
30 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑤 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 𝐹 𝑧 ) ) |
31 |
29 30
|
bitr4d |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ 𝑤 𝐹 𝑧 ) ) |
32 |
31
|
exlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ 𝑤 𝐹 𝑧 ) ) |
33 |
9 32
|
sylbi |
⊢ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) → ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ 𝑤 𝐹 𝑧 ) ) |
34 |
|
iba |
⊢ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) → ( 𝑤 𝐹 𝑧 ↔ ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ ( V × V ) ) ) ) |
35 |
33 34
|
bitrd |
⊢ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) → ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ ( V × V ) ) ) ) |
36 |
7 8 35
|
pm5.21nii |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ ( V × V ) ) ) |
37 |
|
elsni |
⊢ ( 𝑤 ∈ { ∅ } → 𝑤 = ∅ ) |
38 |
37
|
sneqd |
⊢ ( 𝑤 ∈ { ∅ } → { 𝑤 } = { ∅ } ) |
39 |
38
|
cnveqd |
⊢ ( 𝑤 ∈ { ∅ } → ◡ { 𝑤 } = ◡ { ∅ } ) |
40 |
|
cnvsn0 |
⊢ ◡ { ∅ } = ∅ |
41 |
39 40
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑤 ∈ { ∅ } → ◡ { 𝑤 } = ∅ ) |
42 |
41
|
unieqd |
⊢ ( 𝑤 ∈ { ∅ } → ∪ ◡ { 𝑤 } = ∪ ∅ ) |
43 |
|
uni0 |
⊢ ∪ ∅ = ∅ |
44 |
42 43
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑤 ∈ { ∅ } → ∪ ◡ { 𝑤 } = ∅ ) |
45 |
44
|
breq1d |
⊢ ( 𝑤 ∈ { ∅ } → ( ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ↔ ∅ tpos 𝐹 𝑧 ) ) |
46 |
|
brtpos0 |
⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( ∅ tpos 𝐹 𝑧 ↔ ∅ 𝐹 𝑧 ) ) |
47 |
46
|
elv |
⊢ ( ∅ tpos 𝐹 𝑧 ↔ ∅ 𝐹 𝑧 ) |
48 |
45 47
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑤 ∈ { ∅ } → ( ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ↔ ∅ 𝐹 𝑧 ) ) |
49 |
37
|
breq1d |
⊢ ( 𝑤 ∈ { ∅ } → ( 𝑤 𝐹 𝑧 ↔ ∅ 𝐹 𝑧 ) ) |
50 |
48 49
|
bitr4d |
⊢ ( 𝑤 ∈ { ∅ } → ( ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ↔ 𝑤 𝐹 𝑧 ) ) |
51 |
50
|
pm5.32i |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ { ∅ } ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 ∈ { ∅ } ∧ 𝑤 𝐹 𝑧 ) ) |
52 |
51
|
biancomi |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ { ∅ } ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ) |
53 |
36 52
|
orbi12i |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ∨ ( 𝑤 ∈ { ∅ } ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ) ↔ ( ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ ( V × V ) ) ∨ ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ) ) |
54 |
|
andir |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∨ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ∨ ( 𝑤 ∈ { ∅ } ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ) ) |
55 |
|
andi |
⊢ ( ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ∨ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ) ↔ ( ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ ( V × V ) ) ∨ ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ) ) |
56 |
53 54 55
|
3bitr4i |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∨ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ∨ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ) ) |
57 |
|
elun |
⊢ ( 𝑤 ∈ ( ◡ dom tpos 𝐹 ∪ { ∅ } ) ↔ ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∨ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ) |
58 |
57
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( ◡ dom tpos 𝐹 ∪ { ∅ } ) ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑤 ∈ ◡ dom tpos 𝐹 ∨ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ) |
59 |
|
brxp |
⊢ ( 𝑤 ( ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) × V ) 𝑧 ↔ ( 𝑤 ∈ ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) ∧ 𝑧 ∈ V ) ) |
60 |
23 59
|
mpbiran2 |
⊢ ( 𝑤 ( ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) × V ) 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) ) |
61 |
|
elun |
⊢ ( 𝑤 ∈ ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) ↔ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ∨ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ) |
62 |
60 61
|
bitri |
⊢ ( 𝑤 ( ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) × V ) 𝑧 ↔ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ∨ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ) |
63 |
62
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ( ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) × V ) 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ∨ 𝑤 ∈ { ∅ } ) ) ) |
64 |
56 58 63
|
3bitr4i |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( ◡ dom tpos 𝐹 ∪ { ∅ } ) ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ( ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) × V ) 𝑧 ) ) |
65 |
|
brtpos2 |
⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑤 tpos tpos 𝐹 𝑧 ↔ ( 𝑤 ∈ ( ◡ dom tpos 𝐹 ∪ { ∅ } ) ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ) ) |
66 |
65
|
elv |
⊢ ( 𝑤 tpos tpos 𝐹 𝑧 ↔ ( 𝑤 ∈ ( ◡ dom tpos 𝐹 ∪ { ∅ } ) ∧ ∪ ◡ { 𝑤 } tpos 𝐹 𝑧 ) ) |
67 |
|
brin |
⊢ ( 𝑤 ( 𝐹 ∩ ( ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) × V ) ) 𝑧 ↔ ( 𝑤 𝐹 𝑧 ∧ 𝑤 ( ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) × V ) 𝑧 ) ) |
68 |
64 66 67
|
3bitr4i |
⊢ ( 𝑤 tpos tpos 𝐹 𝑧 ↔ 𝑤 ( 𝐹 ∩ ( ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) × V ) ) 𝑧 ) |
69 |
1 2 68
|
eqbrriv |
⊢ tpos tpos 𝐹 = ( 𝐹 ∩ ( ( ( V × V ) ∪ { ∅ } ) × V ) ) |