Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
umgr2v2evtx.g |
⊢ 𝐺 = 〈 𝑉 , { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } 〉 |
2 |
1
|
umgr2v2e |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 𝐺 ∈ UMGraph ) |
3 |
1
|
umgr2v2evtxel |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → 𝐴 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
4 |
3
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → 𝐴 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
6 |
|
eqid |
⊢ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
7 |
|
eqid |
⊢ ( iEdg ‘ 𝐺 ) = ( iEdg ‘ 𝐺 ) |
8 |
|
eqid |
⊢ dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) = dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ( VtxDeg ‘ 𝐺 ) = ( VtxDeg ‘ 𝐺 ) |
10 |
6 7 8 9
|
vtxdumgrval |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) → ( ( VtxDeg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) = ( ♯ ‘ { 𝑥 ∈ dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∣ 𝐴 ∈ ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) } ) ) |
11 |
2 5 10
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ( VtxDeg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) = ( ♯ ‘ { 𝑥 ∈ dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∣ 𝐴 ∈ ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) } ) ) |
12 |
1
|
umgr2v2eiedg |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( iEdg ‘ 𝐺 ) = { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ) |
13 |
12
|
dmeqd |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) = dom { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ) |
14 |
|
prex |
⊢ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ V |
15 |
14 14
|
dmprop |
⊢ dom { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } = { 0 , 1 } |
16 |
13 15
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) = { 0 , 1 } ) |
17 |
12
|
fveq1d |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) = ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) ) |
18 |
17
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐴 ∈ ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ↔ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) ) ) |
19 |
16 18
|
rabeqbidv |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → { 𝑥 ∈ dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∣ 𝐴 ∈ ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ { 0 , 1 } ∣ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) } ) |
20 |
19
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( ♯ ‘ { 𝑥 ∈ dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∣ 𝐴 ∈ ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑥 ∈ { 0 , 1 } ∣ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) } ) ) |
21 |
|
prid1g |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ) |
22 |
|
0ne1 |
⊢ 0 ≠ 1 |
23 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
24 |
23 14
|
fvpr1 |
⊢ ( 0 ≠ 1 → ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 0 ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) |
25 |
22 24
|
ax-mp |
⊢ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 0 ) = { 𝐴 , 𝐵 } |
26 |
21 25
|
eleqtrrdi |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 0 ) ) |
27 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
28 |
27 14
|
fvpr2 |
⊢ ( 0 ≠ 1 → ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 1 ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) |
29 |
22 28
|
ax-mp |
⊢ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 1 ) = { 𝐴 , 𝐵 } |
30 |
21 29
|
eleqtrrdi |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 1 ) ) |
31 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 0 → ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) = ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 0 ) ) |
32 |
31
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) ↔ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 0 ) ) ) |
33 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 1 → ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) = ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 1 ) ) |
34 |
33
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑥 = 1 → ( 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) ↔ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 1 ) ) ) |
35 |
23 27 32 34
|
ralpr |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ { 0 , 1 } 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 0 ) ∧ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 1 ) ) ) |
36 |
26 30 35
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ∀ 𝑥 ∈ { 0 , 1 } 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) ) |
37 |
|
rabid2 |
⊢ ( { 0 , 1 } = { 𝑥 ∈ { 0 , 1 } ∣ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) } ↔ ∀ 𝑥 ∈ { 0 , 1 } 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) ) |
38 |
36 37
|
sylibr |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → { 0 , 1 } = { 𝑥 ∈ { 0 , 1 } ∣ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) } ) |
39 |
38
|
eqcomd |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → { 𝑥 ∈ { 0 , 1 } ∣ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) } = { 0 , 1 } ) |
40 |
39
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( ♯ ‘ { 𝑥 ∈ { 0 , 1 } ∣ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) } ) = ( ♯ ‘ { 0 , 1 } ) ) |
41 |
|
prhash2ex |
⊢ ( ♯ ‘ { 0 , 1 } ) = 2 |
42 |
40 41
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( ♯ ‘ { 𝑥 ∈ { 0 , 1 } ∣ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) } ) = 2 ) |
43 |
42
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( ♯ ‘ { 𝑥 ∈ { 0 , 1 } ∣ 𝐴 ∈ ( { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ‘ 𝑥 ) } ) = 2 ) |
44 |
20 43
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( ♯ ‘ { 𝑥 ∈ dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∣ 𝐴 ∈ ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) } ) = 2 ) |
45 |
44
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ♯ ‘ { 𝑥 ∈ dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ∣ 𝐴 ∈ ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) } ) = 2 ) |
46 |
11 45
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ( VtxDeg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) = 2 ) |