Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
reldom |
⊢ Rel ≼ |
2 |
1
|
brrelex2i |
⊢ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) → ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∈ V ) |
3 |
|
domeng |
⊢ ( ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∈ V → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ↔ ∃ 𝑥 ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) ) |
4 |
2 3
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ↔ ∃ 𝑥 ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) ) |
5 |
4
|
ibi |
⊢ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) → ∃ 𝑥 ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) |
6 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ) |
7 |
|
indi |
⊢ ( 𝑥 ∩ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) = ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∪ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ) |
8 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) |
9 |
|
df-ss |
⊢ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ↔ ( 𝑥 ∩ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) = 𝑥 ) |
10 |
8 9
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑥 ∩ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) = 𝑥 ) |
11 |
7 10
|
eqtr3id |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∪ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ) = 𝑥 ) |
12 |
6 11
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∪ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ) ) |
13 |
|
unxpwdom2 |
⊢ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∪ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ≼* ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ 𝐴 ≼ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 ≼* ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ 𝐴 ≼ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ) ) |
15 |
|
ssun1 |
⊢ 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) |
16 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∈ V ) |
17 |
|
ssexg |
⊢ ( ( 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∈ V ) → 𝐵 ∈ V ) |
18 |
15 16 17
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → 𝐵 ∈ V ) |
19 |
|
inss2 |
⊢ ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝐵 |
20 |
|
ssdomg |
⊢ ( 𝐵 ∈ V → ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ≼ 𝐵 ) ) |
21 |
18 19 20
|
mpisyl |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ≼ 𝐵 ) |
22 |
|
domwdom |
⊢ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ≼ 𝐵 → ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ≼* 𝐵 ) |
23 |
21 22
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ≼* 𝐵 ) |
24 |
|
wdomtr |
⊢ ( ( 𝐴 ≼* ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ≼* 𝐵 ) → 𝐴 ≼* 𝐵 ) |
25 |
24
|
expcom |
⊢ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ≼* 𝐵 → ( 𝐴 ≼* ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) → 𝐴 ≼* 𝐵 ) ) |
26 |
23 25
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 ≼* ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) → 𝐴 ≼* 𝐵 ) ) |
27 |
|
ssun2 |
⊢ 𝐶 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) |
28 |
|
ssexg |
⊢ ( ( 𝐶 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∈ V ) → 𝐶 ∈ V ) |
29 |
27 16 28
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ∈ V ) |
30 |
|
inss2 |
⊢ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐶 |
31 |
|
ssdomg |
⊢ ( 𝐶 ∈ V → ( ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐶 → ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ≼ 𝐶 ) ) |
32 |
29 30 31
|
mpisyl |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ≼ 𝐶 ) |
33 |
|
domtr |
⊢ ( ( 𝐴 ≼ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ∧ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ≼ 𝐶 ) → 𝐴 ≼ 𝐶 ) |
34 |
33
|
expcom |
⊢ ( ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ≼ 𝐶 → ( 𝐴 ≼ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) → 𝐴 ≼ 𝐶 ) ) |
35 |
32 34
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 ≼ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) → 𝐴 ≼ 𝐶 ) ) |
36 |
26 35
|
orim12d |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≼* ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ 𝐴 ≼ ( 𝑥 ∩ 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ≼* 𝐵 ∨ 𝐴 ≼ 𝐶 ) ) ) |
37 |
14 36
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 ≼* 𝐵 ∨ 𝐴 ≼ 𝐶 ) ) |
38 |
5 37
|
exlimddv |
⊢ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) → ( 𝐴 ≼* 𝐵 ∨ 𝐴 ≼ 𝐶 ) ) |