Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elxr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* ↔ ( 𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞ ) ) |
2 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
3 |
2
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
4 |
|
xnegneg |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒 -𝑒 𝐴 = 𝐴 ) |
5 |
3 4
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → -𝑒 -𝑒 𝐴 = 𝐴 ) |
6 |
3
|
xnegcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → -𝑒 𝐴 ∈ ℝ* ) |
7 |
|
xaddid2 |
⊢ ( -𝑒 𝐴 ∈ ℝ* → ( 0 +𝑒 -𝑒 𝐴 ) = -𝑒 𝐴 ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( 0 +𝑒 -𝑒 𝐴 ) = -𝑒 𝐴 ) |
9 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
10 |
|
xaddcom |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = ( 𝐵 +𝑒 𝐴 ) ) |
11 |
3 9 10
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = ( 𝐵 +𝑒 𝐴 ) ) |
12 |
11
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) +𝑒 -𝑒 𝐴 ) = ( ( 𝐵 +𝑒 𝐴 ) +𝑒 -𝑒 𝐴 ) ) |
13 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) |
14 |
13
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) +𝑒 -𝑒 𝐴 ) = ( 0 +𝑒 -𝑒 𝐴 ) ) |
15 |
|
xpncan |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 +𝑒 𝐴 ) +𝑒 -𝑒 𝐴 ) = 𝐵 ) |
16 |
15
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐵 +𝑒 𝐴 ) +𝑒 -𝑒 𝐴 ) = 𝐵 ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( ( 𝐵 +𝑒 𝐴 ) +𝑒 -𝑒 𝐴 ) = 𝐵 ) |
18 |
12 14 17
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( 0 +𝑒 -𝑒 𝐴 ) = 𝐵 ) |
19 |
8 18
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → -𝑒 𝐴 = 𝐵 ) |
20 |
|
xnegeq |
⊢ ( -𝑒 𝐴 = 𝐵 → -𝑒 -𝑒 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) |
21 |
19 20
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → -𝑒 -𝑒 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) |
22 |
5 21
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) |
23 |
22
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 → 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) ) |
24 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐴 = +∞ ) |
25 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
26 |
24
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = ( +∞ +𝑒 𝐵 ) ) |
27 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) |
28 |
26 27
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( +∞ +𝑒 𝐵 ) = 0 ) |
29 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
30 |
|
renepnf |
⊢ ( 0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞ ) |
31 |
29 30
|
mp1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 0 ≠ +∞ ) |
32 |
28 31
|
eqnetrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( +∞ +𝑒 𝐵 ) ≠ +∞ ) |
33 |
32
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ¬ ( +∞ +𝑒 𝐵 ) = +∞ ) |
34 |
|
xaddpnf2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → ( +∞ +𝑒 𝐵 ) = +∞ ) |
35 |
34
|
stoic1a |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ ( +∞ +𝑒 𝐵 ) = +∞ ) → ¬ 𝐵 ≠ -∞ ) |
36 |
25 33 35
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ¬ 𝐵 ≠ -∞ ) |
37 |
|
nne |
⊢ ( ¬ 𝐵 ≠ -∞ ↔ 𝐵 = -∞ ) |
38 |
36 37
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐵 = -∞ ) |
39 |
|
xnegeq |
⊢ ( 𝐵 = -∞ → -𝑒 𝐵 = -𝑒 -∞ ) |
40 |
38 39
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → -𝑒 𝐵 = -𝑒 -∞ ) |
41 |
|
xnegmnf |
⊢ -𝑒 -∞ = +∞ |
42 |
40 41
|
eqtr2di |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → +∞ = -𝑒 𝐵 ) |
43 |
24 42
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) |
44 |
43
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 → 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) ) |
45 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐴 = -∞ ) |
46 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
47 |
45
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = ( -∞ +𝑒 𝐵 ) ) |
48 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) |
49 |
47 48
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( -∞ +𝑒 𝐵 ) = 0 ) |
50 |
|
renemnf |
⊢ ( 0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞ ) |
51 |
29 50
|
mp1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 0 ≠ -∞ ) |
52 |
49 51
|
eqnetrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ( -∞ +𝑒 𝐵 ) ≠ -∞ ) |
53 |
52
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ¬ ( -∞ +𝑒 𝐵 ) = -∞ ) |
54 |
|
xaddmnf2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞ ) → ( -∞ +𝑒 𝐵 ) = -∞ ) |
55 |
54
|
stoic1a |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ ( -∞ +𝑒 𝐵 ) = -∞ ) → ¬ 𝐵 ≠ +∞ ) |
56 |
46 53 55
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → ¬ 𝐵 ≠ +∞ ) |
57 |
|
nne |
⊢ ( ¬ 𝐵 ≠ +∞ ↔ 𝐵 = +∞ ) |
58 |
56 57
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐵 = +∞ ) |
59 |
|
xnegeq |
⊢ ( 𝐵 = +∞ → -𝑒 𝐵 = -𝑒 +∞ ) |
60 |
58 59
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → -𝑒 𝐵 = -𝑒 +∞ ) |
61 |
|
xnegpnf |
⊢ -𝑒 +∞ = -∞ |
62 |
60 61
|
eqtr2di |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → -∞ = -𝑒 𝐵 ) |
63 |
45 62
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) → 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) |
64 |
63
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 → 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) ) |
65 |
23 44 64
|
3jaoian |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞ ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 → 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) ) |
66 |
1 65
|
sylanb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 → 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) ) |
67 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) → 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) |
68 |
67
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = ( -𝑒 𝐵 +𝑒 𝐵 ) ) |
69 |
|
xnegcl |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒 𝐵 ∈ ℝ* ) |
70 |
69
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) → -𝑒 𝐵 ∈ ℝ* ) |
71 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
72 |
|
xaddcom |
⊢ ( ( -𝑒 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( -𝑒 𝐵 +𝑒 𝐵 ) = ( 𝐵 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ) |
73 |
70 71 72
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) → ( -𝑒 𝐵 +𝑒 𝐵 ) = ( 𝐵 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) ) |
74 |
|
xnegid |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ* → ( 𝐵 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) = 0 ) |
75 |
74
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) → ( 𝐵 +𝑒 -𝑒 𝐵 ) = 0 ) |
76 |
68 73 75
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) |
77 |
76
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 = -𝑒 𝐵 → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ) ) |
78 |
66 77
|
impbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) = 0 ↔ 𝐴 = -𝑒 𝐵 ) ) |