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Theorem xlimmnfvlem1

Description: Lemma for xlimmnfv : the "only if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022)

Ref Expression
Hypotheses xlimmnfvlem1.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
xlimmnfvlem1.z 𝑍 = ( ℤ𝑀 )
xlimmnfvlem1.f ( 𝜑𝐹 : 𝑍 ⟶ ℝ* )
xlimmnfvlem1.c ( 𝜑𝐹 ~~>* -∞ )
xlimmnfvlem1.x ( 𝜑𝑋 ∈ ℝ )
Assertion xlimmnfvlem1 ( 𝜑 → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 xlimmnfvlem1.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
2 xlimmnfvlem1.z 𝑍 = ( ℤ𝑀 )
3 xlimmnfvlem1.f ( 𝜑𝐹 : 𝑍 ⟶ ℝ* )
4 xlimmnfvlem1.c ( 𝜑𝐹 ~~>* -∞ )
5 xlimmnfvlem1.x ( 𝜑𝑋 ∈ ℝ )
6 icomnfordt ( -∞ [,) 𝑋 ) ∈ ( ordTop ‘ ≤ )
7 6 a1i ( 𝜑 → ( -∞ [,) 𝑋 ) ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) )
8 df-xlim ~~>* = ( ⇝𝑡 ‘ ( ordTop ‘ ≤ ) )
9 8 breqi ( 𝐹 ~~>* -∞ ↔ 𝐹 ( ⇝𝑡 ‘ ( ordTop ‘ ≤ ) ) -∞ )
10 4 9 sylib ( 𝜑𝐹 ( ⇝𝑡 ‘ ( ordTop ‘ ≤ ) ) -∞ )
11 nfcv 𝑘 𝐹
12 letopon ( ordTop ‘ ≤ ) ∈ ( TopOn ‘ ℝ* )
13 12 a1i ( 𝜑 → ( ordTop ‘ ≤ ) ∈ ( TopOn ‘ ℝ* ) )
14 11 13 lmbr3 ( 𝜑 → ( 𝐹 ( ⇝𝑡 ‘ ( ordTop ‘ ≤ ) ) -∞ ↔ ( 𝐹 ∈ ( ℝ*pm ℂ ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ( -∞ ∈ 𝑢 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) )
15 10 14 mpbid ( 𝜑 → ( 𝐹 ∈ ( ℝ*pm ℂ ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ( -∞ ∈ 𝑢 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ 𝑢 ) ) ) )
16 15 simp3d ( 𝜑 → ∀ 𝑢 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ( -∞ ∈ 𝑢 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ 𝑢 ) ) )
17 7 16 jca ( 𝜑 → ( ( -∞ [,) 𝑋 ) ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ( -∞ ∈ 𝑢 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ 𝑢 ) ) ) )
18 15 simp2d ( 𝜑 → -∞ ∈ ℝ* )
19 5 rexrd ( 𝜑𝑋 ∈ ℝ* )
20 5 mnfltd ( 𝜑 → -∞ < 𝑋 )
21 lbico1 ( ( -∞ ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑋 ) → -∞ ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) )
22 18 19 20 21 syl3anc ( 𝜑 → -∞ ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) )
23 eleq2 ( 𝑢 = ( -∞ [,) 𝑋 ) → ( -∞ ∈ 𝑢 ↔ -∞ ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) )
24 eleq2 ( 𝑢 = ( -∞ [,) 𝑋 ) → ( ( 𝐹𝑘 ) ∈ 𝑢 ↔ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) )
25 24 anbi2d ( 𝑢 = ( -∞ [,) 𝑋 ) → ( ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ 𝑢 ) ↔ ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) ) )
26 25 ralbidv ( 𝑢 = ( -∞ [,) 𝑋 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) ) )
27 26 rexbidv ( 𝑢 = ( -∞ [,) 𝑋 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) ) )
28 23 27 imbi12d ( 𝑢 = ( -∞ [,) 𝑋 ) → ( ( -∞ ∈ 𝑢 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ 𝑢 ) ) ↔ ( -∞ ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) ) ) )
29 28 rspcva ( ( ( -∞ [,) 𝑋 ) ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ( -∞ ∈ 𝑢 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ 𝑢 ) ) ) → ( -∞ ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) ) )
30 17 22 29 sylc ( 𝜑 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) )
31 nfv 𝑗 𝜑
32 nfv 𝑘 𝜑
33 3 ffdmd ( 𝜑𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℝ* )
34 33 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑘 ∈ dom 𝐹 ) → ( 𝐹𝑘 ) ∈ ℝ* )
35 34 adantrr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹𝑘 ) ∈ ℝ* )
36 19 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
37 18 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
38 simprr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) )
39 37 36 38 icoltubd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹𝑘 ) < 𝑋 )
40 35 36 39 xrltled ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 )
41 40 ex ( 𝜑 → ( ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 ) )
42 41 adantr ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 ) )
43 32 42 ralimda ( 𝜑 → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 ) )
44 43 a1d ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 ) ) )
45 31 44 reximdai ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( -∞ [,) 𝑋 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 ) )
46 30 45 mpd ( 𝜑 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 )
47 2 rexuz3 ( 𝑀 ∈ ℤ → ( ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 ) )
48 1 47 syl ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 ) )
49 46 48 mpbird ( 𝜑 → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐹𝑘 ) ≤ 𝑋 )