Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xpcomf1o.1 |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ↦ ∪ ◡ { 𝑥 } ) |
2 |
|
xpcomco.1 |
⊢ 𝐺 = ( 𝑦 ∈ 𝐵 , 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) |
3 |
1
|
xpcomf1o |
⊢ 𝐹 : ( 𝐴 × 𝐵 ) –1-1-onto→ ( 𝐵 × 𝐴 ) |
4 |
|
f1ofun |
⊢ ( 𝐹 : ( 𝐴 × 𝐵 ) –1-1-onto→ ( 𝐵 × 𝐴 ) → Fun 𝐹 ) |
5 |
|
funbrfv2b |
⊢ ( Fun 𝐹 → ( 𝑢 𝐹 𝑤 ↔ ( 𝑢 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) = 𝑤 ) ) ) |
6 |
3 4 5
|
mp2b |
⊢ ( 𝑢 𝐹 𝑤 ↔ ( 𝑢 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) = 𝑤 ) ) |
7 |
|
ancom |
⊢ ( ( 𝑢 ∈ dom 𝐹 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) = 𝑤 ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) = 𝑤 ∧ 𝑢 ∈ dom 𝐹 ) ) |
8 |
|
eqcom |
⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) = 𝑤 ↔ 𝑤 = ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ) |
9 |
|
f1odm |
⊢ ( 𝐹 : ( 𝐴 × 𝐵 ) –1-1-onto→ ( 𝐵 × 𝐴 ) → dom 𝐹 = ( 𝐴 × 𝐵 ) ) |
10 |
3 9
|
ax-mp |
⊢ dom 𝐹 = ( 𝐴 × 𝐵 ) |
11 |
10
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑢 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) |
12 |
8 11
|
anbi12i |
⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) = 𝑤 ∧ 𝑢 ∈ dom 𝐹 ) ↔ ( 𝑤 = ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ) |
13 |
6 7 12
|
3bitri |
⊢ ( 𝑢 𝐹 𝑤 ↔ ( 𝑤 = ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ) |
14 |
13
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑢 𝐹 𝑤 ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) ↔ ( ( 𝑤 = ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) ) |
15 |
|
anass |
⊢ ( ( ( 𝑤 = ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) ↔ ( 𝑤 = ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) ) ) |
16 |
14 15
|
bitri |
⊢ ( ( 𝑢 𝐹 𝑤 ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) ↔ ( 𝑤 = ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) ) ) |
17 |
16
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑤 ( 𝑢 𝐹 𝑤 ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑤 = ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) ) ) |
18 |
|
fvex |
⊢ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ V |
19 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑤 = ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) → ( 𝑤 𝐺 𝑣 ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ) |
20 |
19
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑤 = ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) → ( ( 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) ↔ ( 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ) ) |
21 |
18 20
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑤 ( 𝑤 = ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ) |
22 |
|
elxp |
⊢ ( 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ) |
23 |
22
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ↔ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ) |
24 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑧 ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) |
25 |
|
nfmpo2 |
⊢ Ⅎ 𝑧 ( 𝑦 ∈ 𝐵 , 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) |
26 |
2 25
|
nfcxfr |
⊢ Ⅎ 𝑧 𝐺 |
27 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑧 𝑣 |
28 |
24 26 27
|
nfbr |
⊢ Ⅎ 𝑧 ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 |
29 |
28
|
19.41 |
⊢ ( ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ↔ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ) |
30 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑦 ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) |
31 |
|
nfmpo1 |
⊢ Ⅎ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐵 , 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) |
32 |
2 31
|
nfcxfr |
⊢ Ⅎ 𝑦 𝐺 |
33 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑦 𝑣 |
34 |
30 32 33
|
nfbr |
⊢ Ⅎ 𝑦 ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 |
35 |
34
|
19.41 |
⊢ ( ∃ 𝑦 ( ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ↔ ( ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ) |
36 |
|
anass |
⊢ ( ( ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ↔ ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ) ) |
37 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 → ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) = ( 𝐹 ‘ 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ) ) |
38 |
|
opelxpi |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) |
39 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 → { 𝑥 } = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ) |
40 |
39
|
cnveqd |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 → ◡ { 𝑥 } = ◡ { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ) |
41 |
40
|
unieqd |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 → ∪ ◡ { 𝑥 } = ∪ ◡ { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } ) |
42 |
|
opswap |
⊢ ∪ ◡ { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 } = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 |
43 |
41 42
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 → ∪ ◡ { 𝑥 } = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) |
44 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ V |
45 |
43 1 44
|
fvmpt |
⊢ ( 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ) = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) |
46 |
38 45
|
syl |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ) = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) |
47 |
37 46
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) |
48 |
47
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ↔ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 𝐺 𝑣 ) ) |
49 |
|
df-br |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 𝐺 𝑣 ↔ 〈 〈 𝑦 , 𝑧 〉 , 𝑣 〉 ∈ 𝐺 ) |
50 |
|
df-mpo |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 , 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) = { 〈 〈 𝑦 , 𝑧 〉 , 𝑣 〉 ∣ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) } |
51 |
2 50
|
eqtri |
⊢ 𝐺 = { 〈 〈 𝑦 , 𝑧 〉 , 𝑣 〉 ∣ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) } |
52 |
51
|
eleq2i |
⊢ ( 〈 〈 𝑦 , 𝑧 〉 , 𝑣 〉 ∈ 𝐺 ↔ 〈 〈 𝑦 , 𝑧 〉 , 𝑣 〉 ∈ { 〈 〈 𝑦 , 𝑧 〉 , 𝑣 〉 ∣ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) } ) |
53 |
|
oprabidw |
⊢ ( 〈 〈 𝑦 , 𝑧 〉 , 𝑣 〉 ∈ { 〈 〈 𝑦 , 𝑧 〉 , 𝑣 〉 ∣ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) } ↔ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) |
54 |
49 52 53
|
3bitri |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 𝐺 𝑣 ↔ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) |
55 |
54
|
baib |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 𝐺 𝑣 ↔ 𝑣 = 𝐶 ) ) |
56 |
55
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 𝐺 𝑣 ↔ 𝑣 = 𝐶 ) ) |
57 |
56
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 𝐺 𝑣 ↔ 𝑣 = 𝐶 ) ) |
58 |
48 57
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ↔ 𝑣 = 𝐶 ) ) |
59 |
58
|
pm5.32da |
⊢ ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 → ( ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ↔ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) ) |
60 |
59
|
pm5.32i |
⊢ ( ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) ) |
61 |
36 60
|
bitri |
⊢ ( ( ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ↔ ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) ) |
62 |
61
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑦 ( ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) ) |
63 |
35 62
|
bitr3i |
⊢ ( ( ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) ) |
64 |
63
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) ) |
65 |
23 29 64
|
3bitr2i |
⊢ ( ( 𝑢 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐺 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) ) |
66 |
17 21 65
|
3bitri |
⊢ ( ∃ 𝑤 ( 𝑢 𝐹 𝑤 ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) ) |
67 |
66
|
opabbii |
⊢ { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ∃ 𝑤 ( 𝑢 𝐹 𝑤 ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) } = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) } |
68 |
|
df-co |
⊢ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ∃ 𝑤 ( 𝑢 𝐹 𝑤 ∧ 𝑤 𝐺 𝑣 ) } |
69 |
|
df-mpo |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 , 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶 ) = { 〈 〈 𝑧 , 𝑦 〉 , 𝑣 〉 ∣ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) } |
70 |
|
dfoprab2 |
⊢ { 〈 〈 𝑧 , 𝑦 〉 , 𝑣 〉 ∣ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) } = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) } |
71 |
69 70
|
eqtri |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 , 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶 ) = { 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∣ ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑢 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = 𝐶 ) ) } |
72 |
67 68 71
|
3eqtr4i |
⊢ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) = ( 𝑧 ∈ 𝐴 , 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶 ) |