Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xpdom.2 |
⊢ 𝐶 ∈ V |
2 |
|
brdomi |
⊢ ( 𝐴 ≼ 𝐵 → ∃ 𝑓 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) |
3 |
|
f1f |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
4 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ ∪ ran { 𝑥 } ∈ 𝐴 ) → ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) ∈ 𝐵 ) |
5 |
4
|
ex |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 → ( ∪ ran { 𝑥 } ∈ 𝐴 → ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) ∈ 𝐵 ) ) |
6 |
3 5
|
syl |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( ∪ ran { 𝑥 } ∈ 𝐴 → ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) ∈ 𝐵 ) ) |
7 |
6
|
anim2d |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( ( ∪ dom { 𝑥 } ∈ 𝐶 ∧ ∪ ran { 𝑥 } ∈ 𝐴 ) → ( ∪ dom { 𝑥 } ∈ 𝐶 ∧ ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) ∈ 𝐵 ) ) ) |
8 |
7
|
adantld |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( ( 𝑥 = 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ∪ ran { 𝑥 } 〉 ∧ ( ∪ dom { 𝑥 } ∈ 𝐶 ∧ ∪ ran { 𝑥 } ∈ 𝐴 ) ) → ( ∪ dom { 𝑥 } ∈ 𝐶 ∧ ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) ∈ 𝐵 ) ) ) |
9 |
|
elxp4 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 × 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 = 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ∪ ran { 𝑥 } 〉 ∧ ( ∪ dom { 𝑥 } ∈ 𝐶 ∧ ∪ ran { 𝑥 } ∈ 𝐴 ) ) ) |
10 |
|
opelxp |
⊢ ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 ∈ ( 𝐶 × 𝐵 ) ↔ ( ∪ dom { 𝑥 } ∈ 𝐶 ∧ ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) ∈ 𝐵 ) ) |
11 |
8 9 10
|
3imtr4g |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 × 𝐴 ) → 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 ∈ ( 𝐶 × 𝐵 ) ) ) |
12 |
11
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 × 𝐴 ) → 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 ∈ ( 𝐶 × 𝐵 ) ) ) |
13 |
|
elxp2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 × 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) |
14 |
|
elxp2 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝐶 × 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝐶 ∃ 𝑢 ∈ 𝐴 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ) |
15 |
|
vex |
⊢ 𝑧 ∈ V |
16 |
|
fvex |
⊢ ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ∈ V |
17 |
15 16
|
opth |
⊢ ( 〈 𝑧 , ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) 〉 = 〈 𝑣 , ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) 〉 ↔ ( 𝑧 = 𝑣 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) ) ) |
18 |
|
f1fveq |
⊢ ( ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) ↔ 𝑤 = 𝑢 ) ) |
19 |
18
|
ancoms |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) ↔ 𝑤 = 𝑢 ) ) |
20 |
19
|
anbi2d |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( ( 𝑧 = 𝑣 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) ) ↔ ( 𝑧 = 𝑣 ∧ 𝑤 = 𝑢 ) ) ) |
21 |
17 20
|
syl5bb |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( 〈 𝑧 , ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) 〉 = 〈 𝑣 , ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) 〉 ↔ ( 𝑧 = 𝑣 ∧ 𝑤 = 𝑢 ) ) ) |
22 |
21
|
ex |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( 〈 𝑧 , ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) 〉 = 〈 𝑣 , ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) 〉 ↔ ( 𝑧 = 𝑣 ∧ 𝑤 = 𝑢 ) ) ) ) |
23 |
22
|
ad2ant2l |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( 〈 𝑧 , ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) 〉 = 〈 𝑣 , ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) 〉 ↔ ( 𝑧 = 𝑣 ∧ 𝑤 = 𝑢 ) ) ) ) |
24 |
23
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( 〈 𝑧 , ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) 〉 = 〈 𝑣 , ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) 〉 ↔ ( 𝑧 = 𝑣 ∧ 𝑤 = 𝑢 ) ) ) |
25 |
24
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ) ) ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( 〈 𝑧 , ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) 〉 = 〈 𝑣 , ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) 〉 ↔ ( 𝑧 = 𝑣 ∧ 𝑤 = 𝑢 ) ) ) |
26 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → { 𝑥 } = { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 } ) |
27 |
26
|
dmeqd |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → dom { 𝑥 } = dom { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 } ) |
28 |
27
|
unieqd |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → ∪ dom { 𝑥 } = ∪ dom { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 } ) |
29 |
|
vex |
⊢ 𝑤 ∈ V |
30 |
15 29
|
op1sta |
⊢ ∪ dom { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 } = 𝑧 |
31 |
28 30
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → ∪ dom { 𝑥 } = 𝑧 ) |
32 |
26
|
rneqd |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → ran { 𝑥 } = ran { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 } ) |
33 |
32
|
unieqd |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → ∪ ran { 𝑥 } = ∪ ran { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 } ) |
34 |
15 29
|
op2nda |
⊢ ∪ ran { 〈 𝑧 , 𝑤 〉 } = 𝑤 |
35 |
33 34
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → ∪ ran { 𝑥 } = 𝑤 ) |
36 |
35
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) = ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) |
37 |
31 36
|
opeq12d |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 𝑧 , ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) 〉 ) |
38 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → { 𝑦 } = { 〈 𝑣 , 𝑢 〉 } ) |
39 |
38
|
dmeqd |
⊢ ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → dom { 𝑦 } = dom { 〈 𝑣 , 𝑢 〉 } ) |
40 |
39
|
unieqd |
⊢ ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → ∪ dom { 𝑦 } = ∪ dom { 〈 𝑣 , 𝑢 〉 } ) |
41 |
|
vex |
⊢ 𝑣 ∈ V |
42 |
|
vex |
⊢ 𝑢 ∈ V |
43 |
41 42
|
op1sta |
⊢ ∪ dom { 〈 𝑣 , 𝑢 〉 } = 𝑣 |
44 |
40 43
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → ∪ dom { 𝑦 } = 𝑣 ) |
45 |
38
|
rneqd |
⊢ ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → ran { 𝑦 } = ran { 〈 𝑣 , 𝑢 〉 } ) |
46 |
45
|
unieqd |
⊢ ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → ∪ ran { 𝑦 } = ∪ ran { 〈 𝑣 , 𝑢 〉 } ) |
47 |
41 42
|
op2nda |
⊢ ∪ ran { 〈 𝑣 , 𝑢 〉 } = 𝑢 |
48 |
46 47
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → ∪ ran { 𝑦 } = 𝑢 ) |
49 |
48
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) = ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) ) |
50 |
44 49
|
opeq12d |
⊢ ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 = 〈 𝑣 , ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) 〉 ) |
51 |
37 50
|
eqeqan12d |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ) → ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 ↔ 〈 𝑧 , ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) 〉 = 〈 𝑣 , ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) 〉 ) ) |
52 |
51
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ) ) ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 ↔ 〈 𝑧 , ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) 〉 = 〈 𝑣 , ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) 〉 ) ) |
53 |
|
eqeq12 |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ) → ( 𝑥 = 𝑦 ↔ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ) ) |
54 |
15 29
|
opth |
⊢ ( 〈 𝑧 , 𝑤 〉 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ↔ ( 𝑧 = 𝑣 ∧ 𝑤 = 𝑢 ) ) |
55 |
53 54
|
bitrdi |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ) → ( 𝑥 = 𝑦 ↔ ( 𝑧 = 𝑣 ∧ 𝑤 = 𝑢 ) ) ) |
56 |
55
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ) ) ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( 𝑥 = 𝑦 ↔ ( 𝑧 = 𝑣 ∧ 𝑤 = 𝑢 ) ) ) |
57 |
25 52 56
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ) ) ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) |
58 |
57
|
exp53 |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) ) ) ) ) |
59 |
58
|
com23 |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → ( ( 𝑣 ∈ 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) ) ) ) ) |
60 |
59
|
rexlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → ( ( 𝑣 ∈ 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) ) ) ) |
61 |
60
|
rexlimdvv |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝐶 ∃ 𝑢 ∈ 𝐴 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 → ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) ) ) |
62 |
61
|
imp |
⊢ ( ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝐶 ∃ 𝑢 ∈ 𝐴 𝑦 = 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ) → ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) ) |
63 |
13 14 62
|
syl2anb |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 × 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 × 𝐴 ) ) → ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) ) |
64 |
63
|
com12 |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 × 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 × 𝐴 ) ) → ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) ) |
65 |
64
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 × 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 × 𝐴 ) ) → ( 〈 ∪ dom { 𝑥 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑥 } ) 〉 = 〈 ∪ dom { 𝑦 } , ( 𝑓 ‘ ∪ ran { 𝑦 } ) 〉 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) ) |
66 |
|
reldom |
⊢ Rel ≼ |
67 |
66
|
brrelex1i |
⊢ ( 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V ) |
68 |
|
xpexg |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ) → ( 𝐶 × 𝐴 ) ∈ V ) |
69 |
1 67 68
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ≼ 𝐵 → ( 𝐶 × 𝐴 ) ∈ V ) |
70 |
69
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( 𝐶 × 𝐴 ) ∈ V ) |
71 |
66
|
brrelex2i |
⊢ ( 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V ) |
72 |
|
xpexg |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ) → ( 𝐶 × 𝐵 ) ∈ V ) |
73 |
1 71 72
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ≼ 𝐵 → ( 𝐶 × 𝐵 ) ∈ V ) |
74 |
73
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( 𝐶 × 𝐵 ) ∈ V ) |
75 |
12 65 70 74
|
dom3d |
⊢ ( ( 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( 𝐶 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐶 × 𝐵 ) ) |
76 |
2 75
|
exlimddv |
⊢ ( 𝐴 ≼ 𝐵 → ( 𝐶 × 𝐴 ) ≼ ( 𝐶 × 𝐵 ) ) |