Theorem imacosupp 6959

Description: The image of the support of the composition of two functions is the support of the outer function. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
imacosupp

Proof of Theorem imacosupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvco 5193	. . . . . . . 8
2	1	imaeq1i 5339	. . . . . . 7
3		imaco 5517	. . . . . . 7
4	2, 3	eqtri 2486	. . . . . 6
5	4	imaeq2i 5340	. . . . 5
6		funforn 5807	. . . . . . . 8
7	6	biimpi 194	. . . . . . 7
8	7	ad2antrl 727	. . . . . 6
9		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13
10	9	anim2i 569	. . . . . . . . . . . 12
11	10	ancomd 451	. . . . . . . . . . 11
12		suppimacnv 6929	. . . . . . . . . . 11
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10
14	13	sseq1d 3530	. . . . . . . . 9
15	14	biimpd 207	. . . . . . . 8
16	15	adantld 467	. . . . . . 7
17	16	imp 429	. . . . . 6
18		foimacnv 5838	. . . . . 6
19	8, 17, 18	syl2anc 661	. . . . 5
20	5, 19	syl5eq 2510	. . . 4
21		coexg 6751	. . . . . . . . 9
22	21	anim2i 569	. . . . . . . 8
23	22	ancomd 451	. . . . . . 7
24		suppimacnv 6929	. . . . . . 7
25	23, 24	syl 16	. . . . . 6
26	25	imaeq2d 5342	. . . . 5
27	26	adantr 465	. . . 4
28	13	adantr 465	. . . 4
29	20, 27, 28	3eqtr4d 2508	. . 3
30	29	exp31 604	. 2
31		ima0 5357	. . . . 5
32		id 22	. . . . . . . 8
33	32	intnand 916	. . . . . . 7
34		supp0prc 6921	. . . . . . 7
35	33, 34	syl 16	. . . . . 6
36	35	imaeq2d 5342	. . . . 5
37	32	intnand 916	. . . . . 6
38		supp0prc 6921	. . . . . 6
39	37, 38	syl 16	. . . . 5
40	31, 36, 39	3eqtr4a 2524	. . . 4
41	40	a1d 25	. . 3
42	41	a1d 25	. 2
43	30, 42	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  -onto->wfo 5591  (class class class)co 6296  csupp 6918

This theorem is referenced by:  gsumval3lem1  16909  gsumval3lem2  16910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fo 5599  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6919