Theorem inaprc 9235

Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inaprc

Proof of Theorem inaprc

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 9089	. . . . . 6
2		winaon 9087	. . . . . 6
3	1, 2	syl 16	. . . . 5
4	3	ssriv 3507	. . . 4
5		ssorduni 6621	. . . 4
6		ordsson 6625	. . . 4
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3
8		vex 3112	. . . . . . . 8
9		grothtsk 9234	. . . . . . . 8
10	8, 9	eleqtrri 2544	. . . . . . 7
11		eluni2 4253	. . . . . . 7
12	10, 11	mpbi 208	. . . . . 6
13		ne0i 3790	. . . . . . . . . 10
14		tskcard 9180	. . . . . . . . . 10
15	13, 14	sylan2 474	. . . . . . . . 9
16	15	adantl 466	. . . . . . . 8
17		tsksdom 9155	. . . . . . . . . 10
18	17	adantl 466	. . . . . . . . 9
19		tskwe2 9172	. . . . . . . . . . 11
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . 10
21		cardsdomel 8376	. . . . . . . . . 10
22	20, 21	sylan2 474	. . . . . . . . 9
23	18, 22	mpbid 210	. . . . . . . 8
24		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
25	24	rspcev 3210	. . . . . . . 8
26	16, 23, 25	syl2anc 661	. . . . . . 7
27	26	rexlimdvaa 2950	. . . . . 6
28	12, 27	mpi 17	. . . . 5
29		eluni2 4253	. . . . 5
30	28, 29	sylibr 212	. . . 4
31	30	ssriv 3507	. . 3
32	7, 31	eqssi 3519	. 2
33		ssonprc 6627	. . 3
34	4, 33	ax-mp 5	. 2
35	32, 34	mpbir 209	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e/wnel 2653  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  Ordword 4882  con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593  csdm 7535  ccrd 8337  cwina 9081  cina 9082  ctsk 9147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-ac2 8864  ax-groth 9222

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-ixp 7490  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-r1 8203  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cf 8343  df-acn 8344  df-ac 8518  df-wina 9083  df-ina 9084  df-tsk 9148