Theorem inficl 7905

Description: A set which is closed under pairwise intersection is closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inficl

Distinct variable groups:   ,,   ,

Proof of Theorem inficl

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 7899	. . 3
2		eqimss2 3556	. . . . . . . 8
3	2	biantrurd 508	. . . . . . 7
4		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
5	4	raleqbi1dv 3062	. . . . . . . 8
6	5	raleqbi1dv 3062	. . . . . . 7
7	3, 6	bitr3d 255	. . . . . 6
8	7	elabg 3247	. . . . 5
9		intss1 4301	. . . . 5
10	8, 9	syl6bir 229	. . . 4
11		dffi2 7903	. . . . 5
12	11	sseq1d 3530	. . . 4
13	10, 12	sylibrd 234	. . 3
14		eqss 3518	. . . 4
15	14	simplbi2com 627	. . 3
16	1, 13, 15	sylsyld 56	. 2
17		fiin 7902	. . . 4
18	17	rgen2a 2884	. . 3
19		eleq2 2530	. . . . 5
20	19	raleqbi1dv 3062	. . . 4
21	20	raleqbi1dv 3062	. . 3
22	18, 21	mpbii 211	. 2
23	16, 22	impbid1 203	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  i^icin 3474  C_wss 3475  |^|cint 4286  `cfv 5593  cfi 7890

This theorem is referenced by:  fipwuni  7906  fisn  7907  fitop  19409  ordtbaslem  19689  ptbasin2  20079  filfi  20360  fmfnfmlem3  20457  ustuqtop2  20745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-fi 7891