Theorem infmxrlb 11554

Description: A member of a set of extended reals is greater than or equal to the set's infimum. Note that we did not introduce a notation for the infimum, so we represent it as the supremum for the opposite order relation. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
infmxrlb

Proof of Theorem infmxrlb

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 11376	. . . . . . 7
2		cnvso 5551	. . . . . . 7
3	1, 2	mpbi 208	. . . . . 6
4	3	a1i 11	. . . . 5
5		xrinfmss2 11531	. . . . 5
6	4, 5	supub 7939	. . . 4
7	6	imp 429	. . 3
8		infmxrcl 11537	. . . 4
9		brcnvg 5188	. . . 4
10	8, 9	sylan 471	. . 3
11	7, 10	mtbid 300	. 2
12	8	adantr 465	. . 3
13		ssel2 3498	. . 3
14		xrlenlt 9673	. . 3
15	12, 13, 14	syl2anc 661	. 2
16	11, 15	mpbird 232	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Orwor 4804  `'ccnv 5003  supcsup 7920  cxr 9648  clt 9649  cle 9650

This theorem is referenced by:  infmxrre  11556  ixxlb  11580  limsupval2  13303  imasdsf1olem  20876  ovollb  21890  ovolsslem  21895  infxrmnf  27574  infmxrss  31492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831