Theorem infmxrre 11556

Description: The real and extended real infima match when the real infimum exists. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
infmxrre

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem infmxrre

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 996	. . . . . 6
2		ressxr 9658	. . . . . 6
3	1, 2	syl6ss 3515	. . . . 5
4		infmxrcl 11537	. . . . 5
5	3, 4	syl 16	. . . 4
6		xrleid 11385	. . . 4
7	5, 6	syl 16	. . 3
8		infmxrgelb 11555	. . . . 5
9	3, 5, 8	syl2anc 661	. . . 4
10		simp2 997	. . . . . . 7
11		n0 3794	. . . . . . 7
12	10, 11	sylib 196	. . . . . 6
13	5	adantr 465	. . . . . . 7
14	1	sselda 3503	. . . . . . 7
15		mnfxr 11352	. . . . . . . . . 10
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9
17		infmrcl 10547	. . . . . . . . . 10
18	17	rexrd 9664	. . . . . . . . 9
19		mnflt 11362	. . . . . . . . . 10
20	17, 19	syl 16	. . . . . . . . 9
21	17	leidd 10144	. . . . . . . . . 10
22		infmrgelb 10548	. . . . . . . . . . . 12
23	17, 22	mpdan 668	. . . . . . . . . . 11
24		infmxrgelb 11555	. . . . . . . . . . . 12
25	3, 18, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
26	23, 25	bitr4d 256	. . . . . . . . . 10
27	21, 26	mpbid 210	. . . . . . . . 9
28	16, 18, 5, 20, 27	xrltletrd 11393	. . . . . . . 8
29	28	adantr 465	. . . . . . 7
30		infmxrlb 11554	. . . . . . . 8
31	3, 30	sylan 471	. . . . . . 7
32		xrre 11399	. . . . . . 7
33	13, 14, 29, 31, 32	syl22anc 1229	. . . . . 6
34	12, 33	exlimddv 1726	. . . . 5
35		infmrgelb 10548	. . . . 5
36	34, 35	mpdan 668	. . . 4
37	9, 36	bitr4d 256	. . 3
38	7, 37	mpbid 210	. 2
39		xrletri3 11387	. . 3
40	5, 18, 39	syl2anc 661	. 2
41	38, 27, 40	mpbir2and 922	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  supcsup 7920  cr 9512  cmnf 9647  cxr 9648  clt 9649  cle 9650

This theorem is referenced by:  mbflimsup  22073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831