Theorem infmrcl 10547

Description: Closure of infimum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
infmrcl

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem infmrcl

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmsup 10546	. 2
2		n0 3794	. . . . . 6
3		ssel 3497	. . . . . . . . . . 11
4		renegcl 9905	. . . . . . . . . . 11
5	3, 4	syl6 33	. . . . . . . . . 10
6		ssel2 3498	. . . . . . . . . . . . . 14
7	6	recnd 9643	. . . . . . . . . . . . 13
8	7	negnegd 9945	. . . . . . . . . . . 12
9		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
10	8, 9	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . 11
11	10	ex 434	. . . . . . . . . 10
12	5, 11	jcad 533	. . . . . . . . 9
13		negeq 9835	. . . . . . . . . . . 12
14	13	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11
15	14	elrab 3257	. . . . . . . . . 10
16		ne0i 3790	. . . . . . . . . 10
17	15, 16	sylbir 213	. . . . . . . . 9
18	12, 17	syl6 33	. . . . . . . 8
19	18	exlimdv 1724	. . . . . . 7
20	19	imp 429	. . . . . 6
21	2, 20	sylan2b 475	. . . . 5
22	21	3adant3 1016	. . . 4
23		renegcl 9905	. . . . . . 7
24		negeq 9835	. . . . . . . . . . . 12
25	24	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11
26	25	elrab 3257	. . . . . . . . . 10
27		breq2 4456	. . . . . . . . . . . . . . 15
28	27	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . . 14
29	28	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13
30	29	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12
31		lenegcon2 10082	. . . . . . . . . . . . . 14
32	31	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
34	30, 33	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11
35	34	exp31 604	. . . . . . . . . 10
36	26, 35	syl5bi 217	. . . . . . . . 9
37	36	com23 78	. . . . . . . 8
38	37	ralrimdv 2873	. . . . . . 7
39		breq2 4456	. . . . . . . . 9
40	39	ralbidv 2896	. . . . . . . 8
41	40	rspcev 3210	. . . . . . 7
42	23, 38, 41	syl6an 545	. . . . . 6
43	42	rexlimiv 2943	. . . . 5
44	43	3ad2ant3 1019	. . . 4
45		ssrab2 3584	. . . . 5
46		suprcl 10528	. . . . 5
47	45, 46	mp3an1 1311	. . . 4
48	22, 44, 47	syl2anc 661	. . 3
49	48	renegcld 10011	. 2
50	1, 49	eqeltrd 2545	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  supcsup 7920  cr 9512  clt 9649  cle 9650  -ucneg 9829

This theorem is referenced by:  infmrgelb  10548  infmrlb  10549  supminf  11198  infmxrre  11556  minveclem4c  21840  minveclem3b  21843  minveclem6  21849  pilem2  22847  pilem3  22848  pntlem3  23794  minvecolem2  25791  minvecolem3  25792  minvecolem4c  25795  minvecolem5  25797  minvecolem6  25798  heicant  30049  pellfundre  30817  infrglb  31584  climinf  31612  stirlinglem13  31868  taupi  37698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831