Theorem infmsup 10546

Description: The infimum (expressed as supremum with converse 'less-than') of a set of reals is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
infmsup

Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem infmsup

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gtso 9687	. . . . . 6
2	1	a1i 11	. . . . 5
3		infm3 10527	. . . . . 6
4		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
5		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
6	4, 5	brcnv 5190	. . . . . . . . . 10
7	6	notbii 296	. . . . . . . . 9
8	7	ralbii 2888	. . . . . . . 8
9	5, 4	brcnv 5190	. . . . . . . . . 10
10		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
11	5, 10	brcnv 5190	. . . . . . . . . . 11
12	11	rexbii 2959	. . . . . . . . . 10
13	9, 12	imbi12i 326	. . . . . . . . 9
14	13	ralbii 2888	. . . . . . . 8
15	8, 14	anbi12i 697	. . . . . . 7
16	15	rexbii 2959	. . . . . 6
17	3, 16	sylibr 212	. . . . 5
18	2, 17	supcl 7938	. . . 4
19	18	recnd 9643	. . 3
20	19	negnegd 9945	. 2
21		eqid 2457	. . . . . . . 8
22	21	mptpreima 5505	. . . . . . 7
23	21	negiso 10544	. . . . . . . . 9
24	23	simpri 462	. . . . . . . 8
25	24	imaeq1i 5339	. . . . . . 7
26	22, 25	eqtr3i 2488	. . . . . 6
27	26	supeq1i 7927	. . . . 5
28	23	simpli 458	. . . . . . . . 9
29		isocnv 6226	. . . . . . . . 9
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8
31		isoeq1 6215	. . . . . . . . 9
32	24, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8
33	30, 32	mpbi 208	. . . . . . 7
34	33	a1i 11	. . . . . 6
35		simp1 996	. . . . . 6
36	34, 35, 17, 2	supiso 7954	. . . . 5
37	27, 36	syl5eq 2510	. . . 4
38		negeq 9835	. . . . . 6
39		negex 9841	. . . . . 6
40	38, 21, 39	fvmpt 5956	. . . . 5
41	18, 40	syl 16	. . . 4
42	37, 41	eqtr2d 2499	. . 3
43	42	negeqd 9837	. 2
44	20, 43	eqtr3d 2500	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Orwor 4804  `'ccnv 5003  "cima 5007  `cfv 5593  Isomwiso 5594  supcsup 7920  cr 9512  clt 9649  cle 9650  -ucneg 9829

This theorem is referenced by:  infmrcl  10547  supminf  11198  mbfinf  22072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831