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Theorem infm3 10527
 Description: The completeness axiom for reals in terms of infimum: a nonempty, bounded-below set of reals has an infimum. (This theorem is the dual of sup3 10525.) (Contributed by NM, 14-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
infm3
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem infm3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3497 . . . . . . . . 9
21pm4.71rd 635 . . . . . . . 8
32exbidv 1714 . . . . . . 7
4 df-rex 2813 . . . . . . . 8
5 renegcl 9905 . . . . . . . . 9
6 infm3lem 10526 . . . . . . . . 9
7 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
85, 6, 7rexxfr 4672 . . . . . . . 8
94, 8bitr3i 251 . . . . . . 7
103, 9syl6bb 261 . . . . . 6
11 n0 3794 . . . . . 6
12 rabn0 3805 . . . . . 6
1310, 11, 123bitr4g 288 . . . . 5
14 ssel 3497 . . . . . . . . . . . 12
1514pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . 11
1615imbi1d 317 . . . . . . . . . 10
17 impexp 446 . . . . . . . . . 10
1816, 17syl6bb 261 . . . . . . . . 9
1918albidv 1713 . . . . . . . 8
20 df-ral 2812 . . . . . . . 8
21 renegcl 9905 . . . . . . . . . 10
22 infm3lem 10526 . . . . . . . . . 10
23 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
24 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
2523, 24imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
2621, 22, 25ralxfr 4670 . . . . . . . . 9
27 df-ral 2812 . . . . . . . . 9
2826, 27bitr3i 251 . . . . . . . 8
2919, 20, 283bitr4g 288 . . . . . . 7
3029rexbidv 2968 . . . . . 6
31 renegcl 9905 . . . . . . . 8
32 infm3lem 10526 . . . . . . . 8
33 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
3433imbi2d 316 . . . . . . . . 9
3534ralbidv 2896 . . . . . . . 8
3631, 32, 35rexxfr 4672 . . . . . . 7
37 negeq 9835 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14
3938elrab 3257 . . . . . . . . . . . . 13
4039imbi1i 325 . . . . . . . . . . . 12
41 impexp 446 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41bitri 249 . . . . . . . . . . 11
4342albii 1640 . . . . . . . . . 10
44 df-ral 2812 . . . . . . . . . 10
45 df-ral 2812 . . . . . . . . . 10
4643, 44, 453bitr4ri 278 . . . . . . . . 9
47 leneg 10080 . . . . . . . . . . . 12
4847ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
4948imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
5049ralbidva 2893 . . . . . . . . 9
5146, 50syl5bbr 259 . . . . . . . 8
5251rexbiia 2958 . . . . . . 7
5336, 52bitr4i 252 . . . . . 6
5430, 53syl6bb 261 . . . . 5
5513, 54anbi12d 710 . . . 4
56 ssrab2 3584 . . . . 5
57 sup3 10525 . . . . 5
5856, 57mp3an1 1311 . . . 4
5955, 58syl6bi 228 . . 3
6015imbi1d 317 . . . . . . . . 9
61 impexp 446 . . . . . . . . 9
6260, 61syl6bb 261 . . . . . . . 8
6362albidv 1713 . . . . . . 7
64 df-ral 2812 . . . . . . 7
65 breq1 4455 . . . . . . . . . . 11
6665notbid 294 . . . . . . . . . 10
6723, 66imbi12d 320 . . . . . . . . 9
6821, 22, 67ralxfr 4670 . . . . . . . 8
69 df-ral 2812 . . . . . . . 8
7068, 69bitr3i 251 . . . . . . 7
7163, 64, 703bitr4g 288 . . . . . 6
72 breq2 4456 . . . . . . . . 9
73 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
7473rexbidv 2968 . . . . . . . . 9
7572, 74imbi12d 320 . . . . . . . 8
7621, 22, 75ralxfr 4670 . . . . . . 7
77 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . 13
7877adantrd 468 . . . . . . . . . . . 12
7978pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . 11
8079exbidv 1714 . . . . . . . . . 10
81 df-rex 2813 . . . . . . . . . 10
82 renegcl 9905 . . . . . . . . . . . 12
83 infm3lem 10526 . . . . . . . . . . . 12
84 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13
85 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . 13
8684, 85anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12
8782, 83, 86rexxfr 4672 . . . . . . . . . . 11
88 df-rex 2813 . . . . . . . . . . 11
8987, 88bitr3i 251 . . . . . . . . . 10
9080, 81, 893bitr4g 288 . . . . . . . . 9
9190imbi2d 316 . . . . . . . 8
9291ralbidv 2896 . . . . . . 7
9376, 92syl5bb 257 . . . . . 6
9471, 93anbi12d 710 . . . . 5
9594rexbidv 2968 . . . 4
96 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
9796notbid 294 . . . . . . . . 9
9897imbi2d 316 . . . . . . . 8
9998ralbidv 2896 . . . . . . 7
100 breq1 4455 . . . . . . . . 9
101100imbi1d 317 . . . . . . . 8
102101ralbidv 2896 . . . . . . 7
10399, 102anbi12d 710 . . . . . 6
10431, 32, 103rexxfr 4672 . . . . 5
10539imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11
106 impexp 446 . . . . . . . . . . 11
107105, 106bitri 249 . . . . . . . . . 10
108107albii 1640 . . . . . . . . 9
109 df-ral 2812 . . . . . . . . 9
110 df-ral 2812 . . . . . . . . 9
111108, 109, 1103bitr4ri 278 . . . . . . . 8
112 ltneg 10077 . . . . . . . . . . 11
113112notbid 294 . . . . . . . . . 10
114113imbi2d 316 . . . . . . . . 9
115114ralbidva 2893 . . . . . . . 8
116111, 115syl5bbr 259 . . . . . . 7
117 ltneg 10077 . . . . . . . . . 10
118117ancoms 453 . . . . . . . . 9
119 negeq 9835 . . . . . . . . . . . . 13
120119eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
121120rexrab 3263 . . . . . . . . . . 11
122 ltneg 10077 . . . . . . . . . . . . 13
123122anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12
124123rexbidva 2965 . . . . . . . . . . 11
125121, 124syl5bb 257 . . . . . . . . . 10
126125adantl 466 . . . . . . . . 9
127118, 126imbi12d 320 . . . . . . . 8
128127ralbidva 2893 . . . . . . 7
129116, 128anbi12d 710 . . . . . 6
130129rexbiia 2958 . . . . 5
131104, 130bitr4i 252 . . . 4
13295, 131syl6bb 261 . . 3
13359, 132sylibrd 234 . 2
1341333impib 1194 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   cr 9512   clt 9649   cle 9650  -ucneg 9829 This theorem is referenced by:  infmsup  10546  infmrgelb  10548  infmrlb  10549  xrinfmsslem  11528  gtinf  30137  infrglb  31584 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831
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