Theorem isocnv 6226

Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv

Proof of Theorem isocnv

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5833	. . . 4
2	1	adantr 465	. . 3
3		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . 8
4	3	adantrr 716	. . . . . . 7
5		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . 8
6	5	adantrl 715	. . . . . . 7
7	4, 6	breq12d 4465	. . . . . 6
8	7	adantlr 714	. . . . 5
9		f1of 5821	. . . . . . 7
10	1, 9	syl 16	. . . . . 6
11		ffvelrn 6029	. . . . . . . . 9
12		ffvelrn 6029	. . . . . . . . 9
13	11, 12	anim12dan 837	. . . . . . . 8
14		breq1 4455	. . . . . . . . . . 11
15		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
16	15	breq1d 4462	. . . . . . . . . . 11
17	14, 16	bibi12d 321	. . . . . . . . . 10
18		bicom 200	. . . . . . . . . 10
19	17, 18	syl6bb 261	. . . . . . . . 9
20		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
21	20	breq2d 4464	. . . . . . . . . 10
22		breq2 4456	. . . . . . . . . 10
23	21, 22	bibi12d 321	. . . . . . . . 9
24	19, 23	rspc2va 3220	. . . . . . . 8
25	13, 24	sylan 471	. . . . . . 7
26	25	an32s 804	. . . . . 6
27	10, 26	sylanl1 650	. . . . 5
28	8, 27	bitr3d 255	. . . 4
29	28	ralrimivva 2878	. . 3
30	2, 29	jca 532	. 2
31		df-isom 5602	. 2
32		df-isom 5602	. 2
33	30, 31, 32	3imtr4i 266	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594

This theorem is referenced by:  isores1  6230  isofr  6238  isose  6239  isopo  6242  isoso  6244  weisoeq  6251  weisoeq2  6252  fnwelem  6915  oieu  7985  oemapwe  8134  cantnffval2  8135  oemapweOLD  8156  cantnffval2OLD  8157  wemapwe  8160  wemapweOLD  8161  infxpenlem  8412  fpwwe2lem7  9035  fpwwe2lem9  9037  infmsup  10546  ltweuz  12072  fz1isolem  12510  ordthmeo  20303  relogiso  22982  erdsze2lem2  28648  fzisoeu  31500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602