Theorem isf32lem2 8755

Description: Lemma for isfin3-2 8768. Non-minimum implies that there is always another decrease. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a
isf32lem.b
isf32lem.c

Assertion

Ref	Expression
isf32lem2

Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem isf32lem2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.c	. . . . 5
2	1	adantr 465	. . . 4
3		isf32lem.a	. . . . . . . . . 10
4		ffn 5736	. . . . . . . . . 10
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . . 9
6		peano2 6720	. . . . . . . . 9
7		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . 9
8	5, 6, 7	syl2an 477	. . . . . . . 8
9	8	adantr 465	. . . . . . 7
10		intss1 4301	. . . . . . 7
11	9, 10	syl 16	. . . . . 6
12		fvelrnb 5920	. . . . . . . . . . 11
13	5, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10
14	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9
15		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	6	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15
17		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15
18		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . . 15
19		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20	19	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21	20	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24	23	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26	25	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27	26	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
29	28	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30	29	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
31		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32	31	a1ii 27	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33		elex 3118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
34		sucexb 6644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
35	33, 34	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
36	35	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
37		sucssel 4975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
39	38	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
40		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
41		suceq 4948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
42	41	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
43		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
44	42, 43	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
45	40, 44	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
46	45	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
47	46	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48	47	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49	39, 48	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		eqtr3 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
51	50	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52	49, 51	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53	52	a2d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54	21, 24, 27, 30, 32, 53	findsg 6727	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	54	impr 619	. . . . . . . . . . . . . . 15
56	15, 16, 17, 18, 55	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . 14
57		eqimss 3555	. . . . . . . . . . . . . 14
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
59	6	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . 14
60		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14
61		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14
62		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . 14
63		isf32lem.b	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	3, 63, 1	isf32lem1 8754	. . . . . . . . . . . . . 14
65	59, 60, 61, 62, 64	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . 13
66		nnord 6708	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	6, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	67	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14
69		nnord 6708	. . . . . . . . . . . . . . 15
70	69	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14
71		ordtri2or2 4979	. . . . . . . . . . . . . 14
72	68, 70, 71	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
73	58, 65, 72	mpjaodan 786	. . . . . . . . . . . 12
74	73	anassrs 648	. . . . . . . . . . 11
75		sseq2 3525	. . . . . . . . . . 11
76	74, 75	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . 10
77	76	rexlimdva 2949	. . . . . . . . 9
78	14, 77	sylbid 215	. . . . . . . 8
79	78	ralrimiv 2869	. . . . . . 7
80		ssint 4302	. . . . . . 7
81	79, 80	sylibr 212	. . . . . 6
82	11, 81	eqssd 3520	. . . . 5
83	82, 9	eqeltrd 2545	. . . 4
84	2, 83	mtand 659	. . 3
85		rexnal 2905	. . 3
86	84, 85	sylibr 212	. 2
87		suceq 4948	. . . . . . . 8
88	87	fveq2d 5875	. . . . . . 7
89		fveq2 5871	. . . . . . 7
90	88, 89	sseq12d 3532	. . . . . 6
91	90	cbvralv 3084	. . . . 5
92	63, 91	sylib 196	. . . 4
93	92	adantr 465	. . 3
94		pm4.61 426	. . . . 5
95		dfpss2 3588	. . . . . . 7
96	95	simplbi2 625	. . . . . 6
97	96	anim2d 565	. . . . 5
98	94, 97	syl5bi 217	. . . 4
99	98	ralimi 2850	. . 3
100		rexim 2922	. . 3
101	93, 99, 100	3syl 20	. 2
102	86, 101	mpd 15	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  C.wpss 3476  ~Pcpw 4012  |^|cint 4286  Ordword 4882  succsuc 4885  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  com 6700

This theorem is referenced by:  isf32lem5  8758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-om 6701