Theorem isfin1-2 8786

Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-2

Proof of Theorem isfin1-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3118	. 2
2		elex 3118	. . 3
3		pwexb 6611	. . . 4
4		pwexb 6611	. . . 4
5	3, 4	bitri 249	. . 3
6	2, 5	sylibr 212	. 2
7		ominf 7752	. . . . . 6
8		pwfi 7835	. . . . . . . 8
9		pwfi 7835	. . . . . . . 8
10	8, 9	bitri 249	. . . . . . 7
11		domfi 7761	. . . . . . . 8
12	11	expcom 435	. . . . . . 7
13	10, 12	syl5bi 217	. . . . . 6
14	7, 13	mtoi 178	. . . . 5
15		fineqvlem 7754	. . . . . 6
16	15	ex 434	. . . . 5
17	14, 16	impbid2 204	. . . 4
18	17	con2bid 329	. . 3
19		isfin4-2 8715	. . . 4
20	5, 19	sylbi 195	. . 3
21	18, 20	bitr4d 256	. 2
22	1, 6, 21	pm5.21nii 353	1

Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  e.wcel 1818  cvv 3109  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  com 6700  cdom 7534  cfn 7536  cfin4 8681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fin4 8688