Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinffi Unicode version

Theorem isinffi 8394
 Description: An infinite set contains subsets equinumerous to every finite set. Extension of isinf 7753 from finite ordinals to all finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
isinffi
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem isinffi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ficardom 8363 . . 3
2 isinf 7753 . . 3
3 breq2 4456 . . . . . 6
43anbi2d 703 . . . . 5
54exbidv 1714 . . . 4
65rspcva 3208 . . 3
71, 2, 6syl2anr 478 . 2
8 simprr 757 . . . . . 6
9 ficardid 8364 . . . . . . 7
109ad2antlr 726 . . . . . 6
11 entr 7587 . . . . . 6
128, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5
1312ensymd 7586 . . . 4
14 bren 7545 . . . 4
1513, 14sylib 196 . . 3
16 f1of1 5820 . . . . . . 7
1716adantl 466 . . . . . 6
18 simplrl 761 . . . . . 6
19 f1ss 5791 . . . . . 6
2017, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5
2120ex 434 . . . 4
2221eximdv 1710 . . 3
2315, 22mpd 15 . 2
247, 23exlimddv 1726 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475   class class class wbr 4452  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cfn 7536   ccrd 8337 This theorem is referenced by:  fidomtri  8395  hashdom  12447  erdsze2lem1  28647  eldioph2lem2  30694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341
 Copyright terms: Public domain W3C validator