Theorem isinf 7753

Description: Any set that is not finite is literally infinite, in the sense that it contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (It cannot be proven that the set has countably infinite subsets unless AC is invoked.) The proof does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
isinf

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem isinf

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4456	. . . . . 6
2	1	anbi2d 703	. . . . 5
3	2	exbidv 1714	. . . 4
4		breq2 4456	. . . . . 6
5	4	anbi2d 703	. . . . 5
6	5	exbidv 1714	. . . 4
7		sseq1 3524	. . . . . . 7
8	7	adantl 466	. . . . . 6
9		breq1 4455	. . . . . . 7
10		breq2 4456	. . . . . . 7
11	9, 10	sylan9bbr 700	. . . . . 6
12	8, 11	anbi12d 710	. . . . 5
13	12	cbvexdva 2033	. . . 4
14		0ss 3814	. . . . . 6
15		0ex 4582	. . . . . . 7
16	15	enref 7568	. . . . . 6
17		sseq1 3524	. . . . . . . 8
18		breq1 4455	. . . . . . . 8
19	17, 18	anbi12d 710	. . . . . . 7
20	15, 19	spcev 3201	. . . . . 6
21	14, 16, 20	mp2an 672	. . . . 5
22	21	a1i 11	. . . 4
23		ssdif0 3885	. . . . . . . . . . . . 13
24		eqss 3518	. . . . . . . . . . . . . . 15
25		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26	25	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27		rspe 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	26, 27	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29		isfi 7559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30	28, 29	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	24, 31	sylanbr 473	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13
34	23, 33	sylan2br 476	. . . . . . . . . . . 12
35	34	expcom 435	. . . . . . . . . . 11
36	35	3impd 1210	. . . . . . . . . 10
37	36	com12 31	. . . . . . . . 9
38	37	con3d 133	. . . . . . . 8
39		bren 7545	. . . . . . . . . . 11
40		neq0 3795	. . . . . . . . . . . . . . 15
41		eldifi 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
42	41	snssd 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43		unss 3677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
44	43	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
45	42, 44	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
46	45	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
48		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
49	47, 48	f1osn 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
50	49	jctr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
51		eldifn 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
52		disjsn 4090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
53	51, 52	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
54		nnord 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
55		orddisj 4921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
56	54, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
57	53, 56	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
58		f1oun 5840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
59	50, 57, 58	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
60		df-suc 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
61		f1oeq3 5814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
63		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
64		snex 4693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
65	63, 64	unex 6598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
66		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
67	65, 66	spcev 3201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
68		bren 7545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
69	67, 68	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
70	62, 69	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
71	59, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
72	71	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
74		snex 4693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
75	73, 74	unex 6598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
76		sseq1 3524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
77		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
78	76, 77	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
79	75, 78	spcev 3201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
80	46, 72, 79	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81	80	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
82	81	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16
83	82	exlimiv 1722	. . . . . . . . . . . . . . 15
84	40, 83	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . 14
85	84	com13 80	. . . . . . . . . . . . 13
86	85	expcom 435	. . . . . . . . . . . 12
87	86	exlimiv 1722	. . . . . . . . . . 11
88	39, 87	sylbi 195	. . . . . . . . . 10
89	88	com12 31	. . . . . . . . 9
90	89	3imp 1190	. . . . . . . 8
91	38, 90	syld 44	. . . . . . 7
92	91	3expia 1198	. . . . . 6
93	92	exlimiv 1722	. . . . 5
94	93	com3l 81	. . . 4
95	3, 6, 13, 22, 94	finds2 6728	. . 3
96	95	com12 31	. 2
97	96	ralrimiv 2869	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  Ordword 4882  succsuc 4885  -1-1-onto->wf1o 5592  com 6700  cen 7533  cfn 7536

This theorem is referenced by:  fineqvlem  7754  isinffi  8394  domtriomlem  8843  ishashinf  27606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-om 6701  df-en 7537  df-fin 7540