Metamath Proof Explorer


Theorem bnj1388

Description: Technical lemma for bnj60 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses bnj1388.1
|- B = { d | ( d C_ A /\ A. x e. d _pred ( x , A , R ) C_ d ) }
bnj1388.2
|- Y = <. x , ( f |` _pred ( x , A , R ) ) >.
bnj1388.3
|- C = { f | E. d e. B ( f Fn d /\ A. x e. d ( f ` x ) = ( G ` Y ) ) }
bnj1388.4
|- ( ta <-> ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) )
bnj1388.5
|- D = { x e. A | -. E. f ta }
bnj1388.6
|- ( ps <-> ( R _FrSe A /\ D =/= (/) ) )
bnj1388.7
|- ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
bnj1388.8
|- ( ta' <-> [. y / x ]. ta )
Assertion bnj1388
|- ( ch -> A. y e. _pred ( x , A , R ) E. f ta' )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj1388.1
 |-  B = { d | ( d C_ A /\ A. x e. d _pred ( x , A , R ) C_ d ) }
2 bnj1388.2
 |-  Y = <. x , ( f |` _pred ( x , A , R ) ) >.
3 bnj1388.3
 |-  C = { f | E. d e. B ( f Fn d /\ A. x e. d ( f ` x ) = ( G ` Y ) ) }
4 bnj1388.4
 |-  ( ta <-> ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) )
5 bnj1388.5
 |-  D = { x e. A | -. E. f ta }
6 bnj1388.6
 |-  ( ps <-> ( R _FrSe A /\ D =/= (/) ) )
7 bnj1388.7
 |-  ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
8 bnj1388.8
 |-  ( ta' <-> [. y / x ]. ta )
9 nfv
 |-  F/ y ps
10 nfv
 |-  F/ y x e. D
11 nfra1
 |-  F/ y A. y e. D -. y R x
12 9 10 11 nf3an
 |-  F/ y ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x )
13 7 12 nfxfr
 |-  F/ y ch
14 bnj1152
 |-  ( y e. _pred ( x , A , R ) <-> ( y e. A /\ y R x ) )
15 14 simplbi
 |-  ( y e. _pred ( x , A , R ) -> y e. A )
16 15 adantl
 |-  ( ( ch /\ y e. _pred ( x , A , R ) ) -> y e. A )
17 14 biimpi
 |-  ( y e. _pred ( x , A , R ) -> ( y e. A /\ y R x ) )
18 17 adantl
 |-  ( ( ch /\ y e. _pred ( x , A , R ) ) -> ( y e. A /\ y R x ) )
19 18 simprd
 |-  ( ( ch /\ y e. _pred ( x , A , R ) ) -> y R x )
20 7 simp3bi
 |-  ( ch -> A. y e. D -. y R x )
21 20 adantr
 |-  ( ( ch /\ y e. _pred ( x , A , R ) ) -> A. y e. D -. y R x )
22 df-ral
 |-  ( A. y e. D -. y R x <-> A. y ( y e. D -> -. y R x ) )
23 con2b
 |-  ( ( y e. D -> -. y R x ) <-> ( y R x -> -. y e. D ) )
24 23 albii
 |-  ( A. y ( y e. D -> -. y R x ) <-> A. y ( y R x -> -. y e. D ) )
25 22 24 bitri
 |-  ( A. y e. D -. y R x <-> A. y ( y R x -> -. y e. D ) )
26 sp
 |-  ( A. y ( y R x -> -. y e. D ) -> ( y R x -> -. y e. D ) )
27 26 impcom
 |-  ( ( y R x /\ A. y ( y R x -> -. y e. D ) ) -> -. y e. D )
28 25 27 sylan2b
 |-  ( ( y R x /\ A. y e. D -. y R x ) -> -. y e. D )
29 19 21 28 syl2anc
 |-  ( ( ch /\ y e. _pred ( x , A , R ) ) -> -. y e. D )
30 5 eleq2i
 |-  ( y e. D <-> y e. { x e. A | -. E. f ta } )
31 nfcv
 |-  F/_ x y
32 nfcv
 |-  F/_ x A
33 nfsbc1v
 |-  F/ x [. y / x ]. ta
34 8 33 nfxfr
 |-  F/ x ta'
35 34 nfex
 |-  F/ x E. f ta'
36 35 nfn
 |-  F/ x -. E. f ta'
37 sbceq1a
 |-  ( x = y -> ( ta <-> [. y / x ]. ta ) )
38 37 8 bitr4di
 |-  ( x = y -> ( ta <-> ta' ) )
39 38 exbidv
 |-  ( x = y -> ( E. f ta <-> E. f ta' ) )
40 39 notbid
 |-  ( x = y -> ( -. E. f ta <-> -. E. f ta' ) )
41 31 32 36 40 elrabf
 |-  ( y e. { x e. A | -. E. f ta } <-> ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
42 30 41 bitri
 |-  ( y e. D <-> ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
43 29 42 sylnib
 |-  ( ( ch /\ y e. _pred ( x , A , R ) ) -> -. ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
44 iman
 |-  ( ( y e. A -> E. f ta' ) <-> -. ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
45 43 44 sylibr
 |-  ( ( ch /\ y e. _pred ( x , A , R ) ) -> ( y e. A -> E. f ta' ) )
46 16 45 mpd
 |-  ( ( ch /\ y e. _pred ( x , A , R ) ) -> E. f ta' )
47 46 ex
 |-  ( ch -> ( y e. _pred ( x , A , R ) -> E. f ta' ) )
48 13 47 ralrimi
 |-  ( ch -> A. y e. _pred ( x , A , R ) E. f ta' )