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Theorem bnj916

Description: Technical lemma for bnj69 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses bnj916.1 
|- ( ph <-> ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) )
bnj916.2 
|- ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
bnj916.3 
|- D = ( _om \ { (/) } )
bnj916.4 
|- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
bnj916.5 
|- ( ch <-> ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )
Assertion bnj916 
|- ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj916.1 
 |-  ( ph <-> ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) )
2 bnj916.2 
 |-  ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
3 bnj916.3 
 |-  D = ( _om \ { (/) } )
4 bnj916.4 
 |-  B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
5 bnj916.5 
 |-  ( ch <-> ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )
6 bnj256 
 |-  ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
7 6 2exbii 
 |-  ( E. n E. i ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> E. n E. i ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
8 19.41v 
 |-  ( E. n ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) <-> ( E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
9 nfv 
 |-  F/ i n e. D
10 1 2 bnj911 
 |-  ( ( f Fn n /\ ph /\ ps ) -> A. i ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )
11 10 nf5i 
 |-  F/ i ( f Fn n /\ ph /\ ps )
12 9 11 nfan 
 |-  F/ i ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )
13 12 19.42 
 |-  ( E. i ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) <-> ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
14 13 exbii 
 |-  ( E. n E. i ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) <-> E. n ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
15 df-rex 
 |-  ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) <-> E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
16 df-rex 
 |-  ( E. i e. dom f y e. ( f ` i ) <-> E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) )
17 15 16 anbi12i 
 |-  ( ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) <-> ( E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
18 8 14 17 3bitr4i 
 |-  ( E. n E. i ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ ( i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) ) <-> ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
19 7 18 bitri 
 |-  ( E. n E. i ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
20 19 exbii 
 |-  ( E. f E. n E. i ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
21 5 3anbi2i 
 |-  ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f ) <-> ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f ) )
22 21 anbi1i 
 |-  ( ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f ) /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f ) /\ y e. ( f ` i ) ) )
23 df-bnj17 
 |-  ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f ) /\ y e. ( f ` i ) ) )
24 df-bnj17 
 |-  ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f ) /\ y e. ( f ` i ) ) )
25 22 23 24 3bitr4i 
 |-  ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) )
26 25 3exbii 
 |-  ( E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> E. f E. n E. i ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) )
27 1 2 3 4 bnj882 
 |-  _trCl ( X , A , R ) = U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i )
28 27 eleq2i 
 |-  ( y e. _trCl ( X , A , R ) <-> y e. U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) )
29 eliun 
 |-  ( y e. U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. B y e. U_ i e. dom f ( f ` i ) )
30 eliun 
 |-  ( y e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. i e. dom f y e. ( f ` i ) )
31 30 rexbii 
 |-  ( E. f e. B y e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. B E. i e. dom f y e. ( f ` i ) )
32 28 29 31 3bitri 
 |-  ( y e. _trCl ( X , A , R ) <-> E. f e. B E. i e. dom f y e. ( f ` i ) )
33 df-rex 
 |-  ( E. f e. B E. i e. dom f y e. ( f ` i ) <-> E. f ( f e. B /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
34 4 abeq2i 
 |-  ( f e. B <-> E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )
35 34 anbi1i 
 |-  ( ( f e. B /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) <-> ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
36 35 exbii 
 |-  ( E. f ( f e. B /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
37 32 33 36 3bitri 
 |-  ( y e. _trCl ( X , A , R ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f y e. ( f ` i ) ) )
38 20 26 37 3bitr4ri 
 |-  ( y e. _trCl ( X , A , R ) <-> E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) )
39 bnj643 
 |-  ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) -> ch )
40 5 bnj564 
 |-  ( ch -> dom f = n )
41 40 eleq2d 
 |-  ( ch -> ( i e. dom f <-> i e. n ) )
42 anbi1 
 |-  ( ( i e. dom f <-> i e. n ) -> ( ( i e. dom f /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) <-> ( i e. n /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) ) )
43 bnj334 
 |-  ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. dom f /\ n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) )
44 bnj252 
 |-  ( ( i e. dom f /\ n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. dom f /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
45 43 44 bitri 
 |-  ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. dom f /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
46 bnj334 
 |-  ( ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. n /\ n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) )
47 bnj252 
 |-  ( ( i e. n /\ n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. n /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
48 46 47 bitri 
 |-  ( ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. n /\ ( n e. D /\ ch /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
49 42 45 48 3bitr4g 
 |-  ( ( i e. dom f <-> i e. n ) -> ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
50 39 41 49 3syl 
 |-  ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) -> ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) <-> ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) ) )
51 50 ibi 
 |-  ( ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) -> ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) )
52 51 2eximi 
 |-  ( E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) -> E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) )
53 52 eximi 
 |-  ( E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. dom f /\ y e. ( f ` i ) ) -> E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) )
54 38 53 sylbi 
 |-  ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> E. f E. n E. i ( n e. D /\ ch /\ i e. n /\ y e. ( f ` i ) ) )