Metamath Proof Explorer

Theorem bnj964

Description: Technical lemma for bnj69 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses bnj964.2 
|- ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
bnj964.3 
|- ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
bnj964.5 
|- ( ps' <-> [. p / n ]. ps )
bnj964.8 
|- ( ps" <-> [. G / f ]. ps' )
bnj964.12 
|- C = U_ y e. ( f ` m ) _pred ( y , A , R )
bnj964.13 
|- G = ( f u. { <. n , C >. } )
bnj964.96 
|- ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
bnj964.165 
|- ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ n = suc i ) ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
Assertion bnj964 
|- ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) ) -> ps" )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj964.2 
 |-  ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
2 bnj964.3 
 |-  ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
3 bnj964.5 
 |-  ( ps' <-> [. p / n ]. ps )
4 bnj964.8 
 |-  ( ps" <-> [. G / f ]. ps' )
5 bnj964.12 
 |-  C = U_ y e. ( f ` m ) _pred ( y , A , R )
6 bnj964.13 
 |-  G = ( f u. { <. n , C >. } )
7 bnj964.96 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
8 bnj964.165 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ n = suc i ) ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
9 nfv 
 |-  F/ i ( R _FrSe A /\ X e. A )
10 1 bnj1095 
 |-  ( ps -> A. i ps )
11 10 2 bnj1096 
 |-  ( ch -> A. i ch )
12 11 nf5i 
 |-  F/ i ch
13 nfv 
 |-  F/ i n = suc m
14 nfv 
 |-  F/ i p = suc n
15 12 13 14 nf3an 
 |-  F/ i ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n )
16 9 15 nfan 
 |-  F/ i ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) )
17 bnj255 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) )
18 bnj645 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) -> suc i e. p )
19 simp3 
 |-  ( ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) -> p = suc n )
20 19 bnj706 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) -> p = suc n )
21 eleq2 
 |-  ( p = suc n -> ( suc i e. p <-> suc i e. suc n ) )
22 21 biimpac 
 |-  ( ( suc i e. p /\ p = suc n ) -> suc i e. suc n )
23 elsuci 
 |-  ( suc i e. suc n -> ( suc i e. n \/ suc i = n ) )
24 eqcom 
 |-  ( suc i = n <-> n = suc i )
25 24 orbi2i 
 |-  ( ( suc i e. n \/ suc i = n ) <-> ( suc i e. n \/ n = suc i ) )
26 23 25 sylib 
 |-  ( suc i e. suc n -> ( suc i e. n \/ n = suc i ) )
27 22 26 syl 
 |-  ( ( suc i e. p /\ p = suc n ) -> ( suc i e. n \/ n = suc i ) )
28 18 20 27 syl2anc 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) -> ( suc i e. n \/ n = suc i ) )
29 df-3an 
 |-  ( ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) <-> ( ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ suc i e. n ) )
30 29 3anbi3i 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ suc i e. n ) ) )
31 bnj255 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ suc i e. n ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ suc i e. n ) ) )
32 30 31 bitr4i 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ suc i e. n ) )
33 bnj345 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ suc i e. n ) <-> ( suc i e. n /\ ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) )
34 bnj252 
 |-  ( ( suc i e. n /\ ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) <-> ( suc i e. n /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) ) )
35 32 33 34 3bitri 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) <-> ( suc i e. n /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) ) )
36 17 anbi2i 
 |-  ( ( suc i e. n /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) ) <-> ( suc i e. n /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) ) )
37 35 36 bitr4i 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ suc i e. n ) ) <-> ( suc i e. n /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) ) )
38 37 7 sylbir 
 |-  ( ( suc i e. n /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
39 38 ex 
 |-  ( suc i e. n -> ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
40 df-3an 
 |-  ( ( i e. _om /\ suc i e. p /\ n = suc i ) <-> ( ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ n = suc i ) )
41 40 3anbi3i 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ n = suc i ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ n = suc i ) ) )
42 bnj255 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ n = suc i ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ n = suc i ) ) )
43 41 42 bitr4i 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ n = suc i ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ n = suc i ) )
44 bnj345 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) /\ n = suc i ) <-> ( n = suc i /\ ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) )
45 bnj252 
 |-  ( ( n = suc i /\ ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) <-> ( n = suc i /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) ) )
46 43 44 45 3bitri 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ n = suc i ) ) <-> ( n = suc i /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) ) )
47 17 anbi2i 
 |-  ( ( n = suc i /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) ) <-> ( n = suc i /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) ) )
48 46 47 bitr4i 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p /\ n = suc i ) ) <-> ( n = suc i /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) ) )
49 48 8 sylbir 
 |-  ( ( n = suc i /\ ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
50 49 ex 
 |-  ( n = suc i -> ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
51 39 50 jaoi 
 |-  ( ( suc i e. n \/ n = suc i ) -> ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
52 28 51 mpcom 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ i e. _om /\ suc i e. p ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
53 17 52 sylbir 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) /\ ( i e. _om /\ suc i e. p ) ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) )
54 53 3expia 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) ) -> ( ( i e. _om /\ suc i e. p ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
55 16 54 alrimi 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) ) -> A. i ( ( i e. _om /\ suc i e. p ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
56 vex 
 |-  p e. _V
57 1 3 56 bnj539 
 |-  ( ps' <-> A. i e. _om ( suc i e. p -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
58 57 4 5 6 bnj965 
 |-  ( ps" <-> A. i e. _om ( suc i e. p -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
59 58 bnj115 
 |-  ( ps" <-> A. i ( ( i e. _om /\ suc i e. p ) -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) _pred ( y , A , R ) ) )
60 55 59 sylibr 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ ( ch /\ n = suc m /\ p = suc n ) ) -> ps" )