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Theorem clsun

Description: A pairwise union of closures is the closure of the union. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009)

Ref Expression
Hypothesis clsun.1 
|- X = U. J
Assertion clsun 
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 clsun.1 
 |-  X = U. J
2 difundi 
 |-  ( X \ ( A u. B ) ) = ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) )
3 2 fveq2i 
 |-  ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) )
4 difss 
 |-  ( X \ A ) C_ X
5 difss 
 |-  ( X \ B ) C_ X
6 1 ntrin 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( X \ A ) C_ X /\ ( X \ B ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) )
7 4 5 6 mp3an23 
 |-  ( J e. Top -> ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) )
8 7 3ad2ant1 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) )
9 3 8 eqtrid 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) )
10 simp1 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> J e. Top )
11 unss 
 |-  ( ( A C_ X /\ B C_ X ) <-> ( A u. B ) C_ X )
12 11 biimpi 
 |-  ( ( A C_ X /\ B C_ X ) -> ( A u. B ) C_ X )
13 12 3adant1 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( A u. B ) C_ X )
14 1 ntrdif 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( A u. B ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) )
15 10 13 14 syl2anc 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) )
16 1 ntrdif 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
17 16 3adant3 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
18 1 ntrdif 
 |-  ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
19 18 3adant2 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
20 17 19 ineq12d 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) = ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) )
21 difundi 
 |-  ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) = ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
22 20 21 eqtr4di 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) = ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) )
23 9 15 22 3eqtr3d 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) = ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) )
24 23 difeq2d 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) ) = ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) )
25 1 clscld 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( A u. B ) C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) e. ( Clsd ` J ) )
26 10 13 25 syl2anc 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) e. ( Clsd ` J ) )
27 1 cldss 
 |-  ( ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) C_ X )
28 26 27 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) C_ X )
29 dfss4 
 |-  ( ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) C_ X <-> ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) ) = ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) )
30 28 29 sylib 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) ) = ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) )
31 1 clsss3 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
32 31 3adant3 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
33 1 clsss3 
 |-  ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X )
34 33 3adant2 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X )
35 32 34 jca 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X /\ ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X ) )
36 unss 
 |-  ( ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X /\ ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) C_ X )
37 dfss4 
 |-  ( ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) C_ X <-> ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
38 36 37 bitri 
 |-  ( ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X /\ ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X ) <-> ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
39 35 38 sylib 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
40 24 30 39 3eqtr3d 
 |-  ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) )