Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
clsun.1 |
|- X = U. J |
2 |
|
difundi |
|- ( X \ ( A u. B ) ) = ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) |
3 |
2
|
fveq2i |
|- ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) ) |
4 |
|
difss |
|- ( X \ A ) C_ X |
5 |
|
difss |
|- ( X \ B ) C_ X |
6 |
1
|
ntrin |
|- ( ( J e. Top /\ ( X \ A ) C_ X /\ ( X \ B ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) ) |
7 |
4 5 6
|
mp3an23 |
|- ( J e. Top -> ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) ) |
8 |
7
|
3ad2ant1 |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) ) |
9 |
3 8
|
syl5eq |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) ) |
10 |
|
simp1 |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> J e. Top ) |
11 |
|
unss |
|- ( ( A C_ X /\ B C_ X ) <-> ( A u. B ) C_ X ) |
12 |
11
|
biimpi |
|- ( ( A C_ X /\ B C_ X ) -> ( A u. B ) C_ X ) |
13 |
12
|
3adant1 |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( A u. B ) C_ X ) |
14 |
1
|
ntrdif |
|- ( ( J e. Top /\ ( A u. B ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) ) |
15 |
10 13 14
|
syl2anc |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) ) |
16 |
1
|
ntrdif |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) |
17 |
16
|
3adant3 |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) |
18 |
1
|
ntrdif |
|- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) |
19 |
18
|
3adant2 |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) |
20 |
17 19
|
ineq12d |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) = ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) |
21 |
|
difundi |
|- ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) = ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) |
22 |
20 21
|
eqtr4di |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) = ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) |
23 |
9 15 22
|
3eqtr3d |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) = ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) |
24 |
23
|
difeq2d |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) ) = ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) ) |
25 |
1
|
clscld |
|- ( ( J e. Top /\ ( A u. B ) C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) e. ( Clsd ` J ) ) |
26 |
10 13 25
|
syl2anc |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) e. ( Clsd ` J ) ) |
27 |
1
|
cldss |
|- ( ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) C_ X ) |
28 |
26 27
|
syl |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) C_ X ) |
29 |
|
dfss4 |
|- ( ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) C_ X <-> ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) ) = ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) |
30 |
28 29
|
sylib |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) ) = ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) |
31 |
1
|
clsss3 |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X ) |
32 |
31
|
3adant3 |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X ) |
33 |
1
|
clsss3 |
|- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X ) |
34 |
33
|
3adant2 |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X ) |
35 |
32 34
|
jca |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X /\ ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X ) ) |
36 |
|
unss |
|- ( ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X /\ ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) C_ X ) |
37 |
|
dfss4 |
|- ( ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) C_ X <-> ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) |
38 |
36 37
|
bitri |
|- ( ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X /\ ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X ) <-> ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) |
39 |
35 38
|
sylib |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) |
40 |
24 30 39
|
3eqtr3d |
|- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) |