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Theorem cnpnei

Description: A condition for continuity at a point in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009)

Ref Expression
Hypotheses cnpnei.1 
|- X = U. J
cnpnei.2 
|- Y = U. K
Assertion cnpnei 
|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cnpnei.1 
 |-  X = U. J
2 cnpnei.2 
 |-  Y = U. K
3 cnvimass 
 |-  ( `' F " y ) C_ dom F
4 fdm 
 |-  ( F : X --> Y -> dom F = X )
5 3 4 sseqtrid 
 |-  ( F : X --> Y -> ( `' F " y ) C_ X )
6 5 3ad2ant3 
 |-  ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
7 6 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( `' F " y ) C_ X )
8 neii2 
 |-  ( ( K e. Top /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
9 8 3ad2antl2 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
10 9 ad2ant2rl 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> E. g e. K ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) )
11 simpll 
 |-  ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
12 simprl 
 |-  ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> g e. K )
13 fvex 
 |-  ( F ` A ) e. _V
14 13 snss 
 |-  ( ( F ` A ) e. g <-> { ( F ` A ) } C_ g )
15 14 biimpri 
 |-  ( { ( F ` A ) } C_ g -> ( F ` A ) e. g )
16 15 adantr 
 |-  ( ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) -> ( F ` A ) e. g )
17 16 ad2antll 
 |-  ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( F ` A ) e. g )
18 11 12 17 3jca 
 |-  ( ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ g e. K /\ ( F ` A ) e. g ) )
19 18 adantll 
 |-  ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ g e. K /\ ( F ` A ) e. g ) )
20 cnpimaex 
 |-  ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ g e. K /\ ( F ` A ) e. g ) -> E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) )
21 19 20 syl 
 |-  ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) )
22 sstr2 
 |-  ( ( F " o ) C_ g -> ( g C_ y -> ( F " o ) C_ y ) )
23 22 com12 
 |-  ( g C_ y -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
24 23 ad2antll 
 |-  ( ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
25 24 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ g -> ( F " o ) C_ y ) )
26 ffun 
 |-  ( F : X --> Y -> Fun F )
27 26 3ad2ant3 
 |-  ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> Fun F )
28 27 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> Fun F )
29 28 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> Fun F )
30 1 eltopss 
 |-  ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> o C_ X )
31 30 adantlr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ X )
32 4 sseq2d 
 |-  ( F : X --> Y -> ( o C_ dom F <-> o C_ X ) )
33 32 ad2antlr 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> ( o C_ dom F <-> o C_ X ) )
34 31 33 mpbird 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
35 34 3adantl2 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
36 35 adantlr 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
37 36 ad4ant14 
 |-  ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> o C_ dom F )
38 funimass3 
 |-  ( ( Fun F /\ o C_ dom F ) -> ( ( F " o ) C_ y <-> o C_ ( `' F " y ) ) )
39 29 37 38 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ y <-> o C_ ( `' F " y ) ) )
40 25 39 sylibd 
 |-  ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( F " o ) C_ g -> o C_ ( `' F " y ) ) )
41 40 anim2d 
 |-  ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) -> ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) )
42 41 reximdva 
 |-  ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> ( E. o e. J ( A e. o /\ ( F " o ) C_ g ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) )
43 21 42 mpd 
 |-  ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) /\ ( g e. K /\ ( { ( F ` A ) } C_ g /\ g C_ y ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) )
44 10 43 rexlimddv 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) )
45 1 isneip 
 |-  ( ( J e. Top /\ A e. X ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
46 45 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
47 46 adantr 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( ( `' F " y ) C_ X /\ E. o e. J ( A e. o /\ o C_ ( `' F " y ) ) ) ) )
48 7 44 47 mpbir2and 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
49 48 exp32 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) -> ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
50 49 ralrimdv 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) -> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
51 simpll3 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F : X --> Y )
52 opnneip 
 |-  ( ( K e. Top /\ o e. K /\ ( F ` A ) e. o ) -> o e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) )
53 imaeq2 
 |-  ( y = o -> ( `' F " y ) = ( `' F " o ) )
54 53 eleq1d 
 |-  ( y = o -> ( ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
55 54 rspcv 
 |-  ( o e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
56 52 55 syl 
 |-  ( ( K e. Top /\ o e. K /\ ( F ` A ) e. o ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
57 56 3com23 
 |-  ( ( K e. Top /\ ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
58 57 3expb 
 |-  ( ( K e. Top /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
59 58 3ad2antl2 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
60 59 adantlr 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )
61 neii2 
 |-  ( ( J e. Top /\ ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) )
62 61 ex 
 |-  ( J e. Top -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
63 62 3ad2ant1 
 |-  ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
64 63 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( ( `' F " o ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
65 snssg 
 |-  ( A e. X -> ( A e. g <-> { A } C_ g ) )
66 65 ad3antlr 
 |-  ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( A e. g <-> { A } C_ g ) )
67 27 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> Fun F )
68 1 eltopss 
 |-  ( ( J e. Top /\ g e. J ) -> g C_ X )
69 68 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g e. J ) -> g C_ X )
70 4 sseq2d 
 |-  ( F : X --> Y -> ( g C_ dom F <-> g C_ X ) )
71 70 3ad2ant3 
 |-  ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) -> ( g C_ dom F <-> g C_ X ) )
72 71 biimpar 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g C_ X ) -> g C_ dom F )
73 69 72 syldan 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ g e. J ) -> g C_ dom F )
74 73 ad4ant14 
 |-  ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> g C_ dom F )
75 funimass3 
 |-  ( ( Fun F /\ g C_ dom F ) -> ( ( F " g ) C_ o <-> g C_ ( `' F " o ) ) )
76 67 74 75 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( F " g ) C_ o <-> g C_ ( `' F " o ) ) )
77 66 76 anbi12d 
 |-  ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) <-> ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) ) )
78 77 biimprd 
 |-  ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) /\ g e. J ) -> ( ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) -> ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
79 78 reximdva 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( E. g e. J ( { A } C_ g /\ g C_ ( `' F " o ) ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
80 60 64 79 3syld 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ ( ( F ` A ) e. o /\ o e. K ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
81 80 exp32 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( ( F ` A ) e. o -> ( o e. K -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
82 81 com24 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( o e. K -> ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
83 82 imp 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( o e. K -> ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) )
84 83 ralrimiv 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) )
85 1 2 iscnp2 
 |-  ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) /\ ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
86 85 baib 
 |-  ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
87 86 3expa 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
88 87 3adantl3 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
89 88 adantr 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> ( F : X --> Y /\ A. o e. K ( ( F ` A ) e. o -> E. g e. J ( A e. g /\ ( F " g ) C_ o ) ) ) ) )
90 51 84 89 mpbir2and 
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) )
91 90 ex 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` A ) ) )
92 50 91 impbid 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ F : X --> Y ) /\ A e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` A ) <-> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` A ) } ) ( `' F " y ) e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) )