Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
coefv0.1 |
|- A = ( coeff ` F ) |
2 |
|
coeadd.2 |
|- B = ( coeff ` G ) |
3 |
|
coemulhi.3 |
|- M = ( deg ` F ) |
4 |
|
coemulhi.4 |
|- N = ( deg ` G ) |
5 |
|
dgrcl |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> ( deg ` F ) e. NN0 ) |
6 |
3 5
|
eqeltrid |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> M e. NN0 ) |
7 |
|
dgrcl |
|- ( G e. ( Poly ` S ) -> ( deg ` G ) e. NN0 ) |
8 |
4 7
|
eqeltrid |
|- ( G e. ( Poly ` S ) -> N e. NN0 ) |
9 |
|
nn0addcl |
|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 ) |
10 |
6 8 9
|
syl2an |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( M + N ) e. NN0 ) |
11 |
1 2
|
coemul |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( coeff ` ( F oF x. G ) ) ` ( M + N ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) ) |
12 |
10 11
|
mpd3an3 |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( ( coeff ` ( F oF x. G ) ) ` ( M + N ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) ) |
13 |
8
|
adantl |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> N e. NN0 ) |
14 |
13
|
nn0ge0d |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> 0 <_ N ) |
15 |
6
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> M e. NN0 ) |
16 |
15
|
nn0red |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> M e. RR ) |
17 |
13
|
nn0red |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> N e. RR ) |
18 |
16 17
|
addge01d |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N ) ) ) |
19 |
14 18
|
mpbid |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> M <_ ( M + N ) ) |
20 |
|
nn0uz |
|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) |
21 |
15 20
|
eleqtrdi |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) ) |
22 |
10
|
nn0zd |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( M + N ) e. ZZ ) |
23 |
|
elfz5 |
|- ( ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( M e. ( 0 ... ( M + N ) ) <-> M <_ ( M + N ) ) ) |
24 |
21 22 23
|
syl2anc |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( M e. ( 0 ... ( M + N ) ) <-> M <_ ( M + N ) ) ) |
25 |
19 24
|
mpbird |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> M e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) |
26 |
25
|
snssd |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> { M } C_ ( 0 ... ( M + N ) ) ) |
27 |
|
elsni |
|- ( k e. { M } -> k = M ) |
28 |
27
|
adantl |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. { M } ) -> k = M ) |
29 |
|
fveq2 |
|- ( k = M -> ( A ` k ) = ( A ` M ) ) |
30 |
|
oveq2 |
|- ( k = M -> ( ( M + N ) - k ) = ( ( M + N ) - M ) ) |
31 |
30
|
fveq2d |
|- ( k = M -> ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) = ( B ` ( ( M + N ) - M ) ) ) |
32 |
29 31
|
oveq12d |
|- ( k = M -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = ( ( A ` M ) x. ( B ` ( ( M + N ) - M ) ) ) ) |
33 |
28 32
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. { M } ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = ( ( A ` M ) x. ( B ` ( ( M + N ) - M ) ) ) ) |
34 |
16
|
recnd |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> M e. CC ) |
35 |
17
|
recnd |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> N e. CC ) |
36 |
34 35
|
pncan2d |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( ( M + N ) - M ) = N ) |
37 |
36
|
fveq2d |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( B ` ( ( M + N ) - M ) ) = ( B ` N ) ) |
38 |
37
|
oveq2d |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( ( A ` M ) x. ( B ` ( ( M + N ) - M ) ) ) = ( ( A ` M ) x. ( B ` N ) ) ) |
39 |
1
|
coef3 |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> A : NN0 --> CC ) |
40 |
39
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> A : NN0 --> CC ) |
41 |
40 15
|
ffvelrnd |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( A ` M ) e. CC ) |
42 |
2
|
coef3 |
|- ( G e. ( Poly ` S ) -> B : NN0 --> CC ) |
43 |
42
|
adantl |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> B : NN0 --> CC ) |
44 |
43 13
|
ffvelrnd |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( B ` N ) e. CC ) |
45 |
41 44
|
mulcld |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( ( A ` M ) x. ( B ` N ) ) e. CC ) |
46 |
38 45
|
eqeltrd |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( ( A ` M ) x. ( B ` ( ( M + N ) - M ) ) ) e. CC ) |
47 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. { M } ) -> ( ( A ` M ) x. ( B ` ( ( M + N ) - M ) ) ) e. CC ) |
48 |
33 47
|
eqeltrd |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. { M } ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) e. CC ) |
49 |
|
simpl |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> F e. ( Poly ` S ) ) |
50 |
|
eldifi |
|- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) |
51 |
|
elfznn0 |
|- ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> k e. NN0 ) |
52 |
50 51
|
syl |
|- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) -> k e. NN0 ) |
53 |
1 3
|
dgrub |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> k <_ M ) |
54 |
53
|
3expia |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) ) |
55 |
49 52 54
|
syl2an |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) ) |
56 |
55
|
necon1bd |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( -. k <_ M -> ( A ` k ) = 0 ) ) |
57 |
56
|
imp |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( A ` k ) = 0 ) |
58 |
57
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = ( 0 x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) ) |
59 |
43
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. k <_ M ) -> B : NN0 --> CC ) |
60 |
50
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. k <_ M ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) |
61 |
|
fznn0sub |
|- ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. NN0 ) |
62 |
60 61
|
syl |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( ( M + N ) - k ) e. NN0 ) |
63 |
59 62
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) e. CC ) |
64 |
63
|
mul02d |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( 0 x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = 0 ) |
65 |
58 64
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = 0 ) |
66 |
16
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> M e. RR ) |
67 |
50
|
adantl |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) |
68 |
67 51
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> k e. NN0 ) |
69 |
68
|
nn0red |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> k e. RR ) |
70 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> N e. RR ) |
71 |
66 69 70
|
leadd1d |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( M <_ k <-> ( M + N ) <_ ( k + N ) ) ) |
72 |
10
|
adantr |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( M + N ) e. NN0 ) |
73 |
72
|
nn0red |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( M + N ) e. RR ) |
74 |
73 69 70
|
lesubadd2d |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( ( ( M + N ) - k ) <_ N <-> ( M + N ) <_ ( k + N ) ) ) |
75 |
71 74
|
bitr4d |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( M <_ k <-> ( ( M + N ) - k ) <_ N ) ) |
76 |
75
|
notbid |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( -. M <_ k <-> -. ( ( M + N ) - k ) <_ N ) ) |
77 |
76
|
biimpa |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. M <_ k ) -> -. ( ( M + N ) - k ) <_ N ) |
78 |
|
simpr |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> G e. ( Poly ` S ) ) |
79 |
50 61
|
syl |
|- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) -> ( ( M + N ) - k ) e. NN0 ) |
80 |
2 4
|
dgrub |
|- ( ( G e. ( Poly ` S ) /\ ( ( M + N ) - k ) e. NN0 /\ ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) =/= 0 ) -> ( ( M + N ) - k ) <_ N ) |
81 |
80
|
3expia |
|- ( ( G e. ( Poly ` S ) /\ ( ( M + N ) - k ) e. NN0 ) -> ( ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) =/= 0 -> ( ( M + N ) - k ) <_ N ) ) |
82 |
78 79 81
|
syl2an |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) =/= 0 -> ( ( M + N ) - k ) <_ N ) ) |
83 |
82
|
necon1bd |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( -. ( ( M + N ) - k ) <_ N -> ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) = 0 ) ) |
84 |
83
|
imp |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. ( ( M + N ) - k ) <_ N ) -> ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) = 0 ) |
85 |
77 84
|
syldan |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. M <_ k ) -> ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) = 0 ) |
86 |
85
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. M <_ k ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = ( ( A ` k ) x. 0 ) ) |
87 |
40
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. M <_ k ) -> A : NN0 --> CC ) |
88 |
52
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. M <_ k ) -> k e. NN0 ) |
89 |
87 88
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. M <_ k ) -> ( A ` k ) e. CC ) |
90 |
89
|
mul01d |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. M <_ k ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 ) |
91 |
86 90
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) /\ -. M <_ k ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = 0 ) |
92 |
|
eldifsni |
|- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) -> k =/= M ) |
93 |
92
|
adantl |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> k =/= M ) |
94 |
69 66
|
letri3d |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( k = M <-> ( k <_ M /\ M <_ k ) ) ) |
95 |
94
|
necon3abid |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( k =/= M <-> -. ( k <_ M /\ M <_ k ) ) ) |
96 |
93 95
|
mpbid |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> -. ( k <_ M /\ M <_ k ) ) |
97 |
|
ianor |
|- ( -. ( k <_ M /\ M <_ k ) <-> ( -. k <_ M \/ -. M <_ k ) ) |
98 |
96 97
|
sylib |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( -. k <_ M \/ -. M <_ k ) ) |
99 |
65 91 98
|
mpjaodan |
|- ( ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ { M } ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = 0 ) |
100 |
|
fzfid |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( 0 ... ( M + N ) ) e. Fin ) |
101 |
26 48 99 100
|
fsumss |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> sum_ k e. { M } ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) ) |
102 |
32
|
sumsn |
|- ( ( M e. NN0 /\ ( ( A ` M ) x. ( B ` ( ( M + N ) - M ) ) ) e. CC ) -> sum_ k e. { M } ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = ( ( A ` M ) x. ( B ` ( ( M + N ) - M ) ) ) ) |
103 |
15 46 102
|
syl2anc |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> sum_ k e. { M } ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = ( ( A ` M ) x. ( B ` ( ( M + N ) - M ) ) ) ) |
104 |
103 38
|
eqtrd |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> sum_ k e. { M } ( ( A ` k ) x. ( B ` ( ( M + N ) - k ) ) ) = ( ( A ` M ) x. ( B ` N ) ) ) |
105 |
12 101 104
|
3eqtr2d |
|- ( ( F e. ( Poly ` S ) /\ G e. ( Poly ` S ) ) -> ( ( coeff ` ( F oF x. G ) ) ` ( M + N ) ) = ( ( A ` M ) x. ( B ` N ) ) ) |