Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
coefv0.1 |
⊢ 𝐴 = ( coeff ‘ 𝐹 ) |
2 |
|
coeadd.2 |
⊢ 𝐵 = ( coeff ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
coemulhi.3 |
⊢ 𝑀 = ( deg ‘ 𝐹 ) |
4 |
|
coemulhi.4 |
⊢ 𝑁 = ( deg ‘ 𝐺 ) |
5 |
|
dgrcl |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → ( deg ‘ 𝐹 ) ∈ ℕ0 ) |
6 |
3 5
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
7 |
|
dgrcl |
⊢ ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → ( deg ‘ 𝐺 ) ∈ ℕ0 ) |
8 |
4 7
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
9 |
|
nn0addcl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
10 |
6 8 9
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
11 |
1 2
|
coemul |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( coeff ‘ ( 𝐹 ∘f · 𝐺 ) ) ‘ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) ) |
12 |
10 11
|
mpd3an3 |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( ( coeff ‘ ( 𝐹 ∘f · 𝐺 ) ) ‘ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) ) |
13 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
14 |
13
|
nn0ge0d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 0 ≤ 𝑁 ) |
15 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
16 |
15
|
nn0red |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝑀 ∈ ℝ ) |
17 |
13
|
nn0red |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
18 |
16 17
|
addge01d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) |
19 |
14 18
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝑀 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) |
20 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
21 |
15 20
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
22 |
10
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
23 |
|
elfz5 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ↔ 𝑀 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) |
24 |
21 22 23
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝑀 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ↔ 𝑀 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) |
25 |
19 24
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝑀 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) |
26 |
25
|
snssd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → { 𝑀 } ⊆ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) |
27 |
|
elsni |
⊢ ( 𝑘 ∈ { 𝑀 } → 𝑘 = 𝑀 ) |
28 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑀 } ) → 𝑘 = 𝑀 ) |
29 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑀 → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) ) |
30 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑀 → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) |
31 |
30
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑀 → ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ) |
32 |
29 31
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑀 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ) ) |
33 |
28 32
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑀 } ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ) ) |
34 |
16
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
35 |
17
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
36 |
34 35
|
pncan2d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) = 𝑁 ) |
37 |
36
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑁 ) ) |
38 |
37
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑁 ) ) ) |
39 |
1
|
coef3 |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
40 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
41 |
40 15
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
42 |
2
|
coef3 |
⊢ ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝐵 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
43 |
42
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝐵 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
44 |
43 13
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
45 |
41 44
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
46 |
38 45
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ) ∈ ℂ ) |
47 |
46
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑀 } ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ) ∈ ℂ ) |
48 |
33 47
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑀 } ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) ∈ ℂ ) |
49 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) |
50 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) |
51 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
52 |
50 51
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
53 |
1 3
|
dgrub |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ≠ 0 ) → 𝑘 ≤ 𝑀 ) |
54 |
53
|
3expia |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑀 ) ) |
55 |
49 52 54
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑀 ) ) |
56 |
55
|
necon1bd |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( ¬ 𝑘 ≤ 𝑀 → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = 0 ) ) |
57 |
56
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑀 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = 0 ) |
58 |
57
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑀 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = ( 0 · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) ) |
59 |
43
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑀 ) → 𝐵 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
60 |
50
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑀 ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) |
61 |
|
fznn0sub |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
62 |
60 61
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
63 |
59 62
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑀 ) → ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
64 |
63
|
mul02d |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑀 ) → ( 0 · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = 0 ) |
65 |
58 64
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑀 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = 0 ) |
66 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → 𝑀 ∈ ℝ ) |
67 |
50
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) |
68 |
67 51
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
69 |
68
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
70 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
71 |
66 69 70
|
leadd1d |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( 𝑀 ≤ 𝑘 ↔ ( 𝑀 + 𝑁 ) ≤ ( 𝑘 + 𝑁 ) ) ) |
72 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
73 |
72
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
74 |
73 69 70
|
lesubadd2d |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ↔ ( 𝑀 + 𝑁 ) ≤ ( 𝑘 + 𝑁 ) ) ) |
75 |
71 74
|
bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( 𝑀 ≤ 𝑘 ↔ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) |
76 |
75
|
notbid |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( ¬ 𝑀 ≤ 𝑘 ↔ ¬ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) |
77 |
76
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑘 ) → ¬ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) |
78 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) |
79 |
50 61
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
80 |
2 4
|
dgrub |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) |
81 |
80
|
3expia |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ≠ 0 → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) |
82 |
78 79 81
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ≠ 0 → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) |
83 |
82
|
necon1bd |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( ¬ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 → ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) = 0 ) ) |
84 |
83
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) → ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) = 0 ) |
85 |
77 84
|
syldan |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑘 ) → ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) = 0 ) |
86 |
85
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑘 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · 0 ) ) |
87 |
40
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑘 ) → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
88 |
52
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑘 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
89 |
87 88
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑘 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
90 |
89
|
mul01d |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑘 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · 0 ) = 0 ) |
91 |
86 90
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑘 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = 0 ) |
92 |
|
eldifsni |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) → 𝑘 ≠ 𝑀 ) |
93 |
92
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → 𝑘 ≠ 𝑀 ) |
94 |
69 66
|
letri3d |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( 𝑘 = 𝑀 ↔ ( 𝑘 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ) ) ) |
95 |
94
|
necon3abid |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( 𝑘 ≠ 𝑀 ↔ ¬ ( 𝑘 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ) ) ) |
96 |
93 95
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ¬ ( 𝑘 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ) ) |
97 |
|
ianor |
⊢ ( ¬ ( 𝑘 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ) ↔ ( ¬ 𝑘 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑘 ) ) |
98 |
96 97
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( ¬ 𝑘 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑘 ) ) |
99 |
65 91 98
|
mpjaodan |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∖ { 𝑀 } ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = 0 ) |
100 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ Fin ) |
101 |
26 48 99 100
|
fsumss |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → Σ 𝑘 ∈ { 𝑀 } ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) ) |
102 |
32
|
sumsn |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ { 𝑀 } ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ) ) |
103 |
15 46 102
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → Σ 𝑘 ∈ { 𝑀 } ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ) ) |
104 |
103 38
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → Σ 𝑘 ∈ { 𝑀 } ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑁 ) ) ) |
105 |
12 101 104
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( ( coeff ‘ ( 𝐹 ∘f · 𝐺 ) ) ‘ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑁 ) ) ) |