Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-om |
|- _om = { x e. On | A. z ( Lim z -> x e. z ) } |
2 |
|
onsssuc |
|- ( ( z e. On /\ x e. On ) -> ( z C_ x <-> z e. suc x ) ) |
3 |
|
ontri1 |
|- ( ( z e. On /\ x e. On ) -> ( z C_ x <-> -. x e. z ) ) |
4 |
2 3
|
bitr3d |
|- ( ( z e. On /\ x e. On ) -> ( z e. suc x <-> -. x e. z ) ) |
5 |
4
|
ancoms |
|- ( ( x e. On /\ z e. On ) -> ( z e. suc x <-> -. x e. z ) ) |
6 |
|
limeq |
|- ( y = z -> ( Lim y <-> Lim z ) ) |
7 |
6
|
notbid |
|- ( y = z -> ( -. Lim y <-> -. Lim z ) ) |
8 |
7
|
elrab |
|- ( z e. { y e. On | -. Lim y } <-> ( z e. On /\ -. Lim z ) ) |
9 |
8
|
a1i |
|- ( ( x e. On /\ z e. On ) -> ( z e. { y e. On | -. Lim y } <-> ( z e. On /\ -. Lim z ) ) ) |
10 |
5 9
|
imbi12d |
|- ( ( x e. On /\ z e. On ) -> ( ( z e. suc x -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) <-> ( -. x e. z -> ( z e. On /\ -. Lim z ) ) ) ) |
11 |
10
|
pm5.74da |
|- ( x e. On -> ( ( z e. On -> ( z e. suc x -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) ) <-> ( z e. On -> ( -. x e. z -> ( z e. On /\ -. Lim z ) ) ) ) ) |
12 |
|
vex |
|- z e. _V |
13 |
|
limelon |
|- ( ( z e. _V /\ Lim z ) -> z e. On ) |
14 |
12 13
|
mpan |
|- ( Lim z -> z e. On ) |
15 |
14
|
pm4.71ri |
|- ( Lim z <-> ( z e. On /\ Lim z ) ) |
16 |
15
|
imbi1i |
|- ( ( Lim z -> x e. z ) <-> ( ( z e. On /\ Lim z ) -> x e. z ) ) |
17 |
|
impexp |
|- ( ( ( z e. On /\ Lim z ) -> x e. z ) <-> ( z e. On -> ( Lim z -> x e. z ) ) ) |
18 |
|
con34b |
|- ( ( Lim z -> x e. z ) <-> ( -. x e. z -> -. Lim z ) ) |
19 |
|
ibar |
|- ( z e. On -> ( -. Lim z <-> ( z e. On /\ -. Lim z ) ) ) |
20 |
19
|
imbi2d |
|- ( z e. On -> ( ( -. x e. z -> -. Lim z ) <-> ( -. x e. z -> ( z e. On /\ -. Lim z ) ) ) ) |
21 |
18 20
|
syl5bb |
|- ( z e. On -> ( ( Lim z -> x e. z ) <-> ( -. x e. z -> ( z e. On /\ -. Lim z ) ) ) ) |
22 |
21
|
pm5.74i |
|- ( ( z e. On -> ( Lim z -> x e. z ) ) <-> ( z e. On -> ( -. x e. z -> ( z e. On /\ -. Lim z ) ) ) ) |
23 |
16 17 22
|
3bitri |
|- ( ( Lim z -> x e. z ) <-> ( z e. On -> ( -. x e. z -> ( z e. On /\ -. Lim z ) ) ) ) |
24 |
11 23
|
syl6rbbr |
|- ( x e. On -> ( ( Lim z -> x e. z ) <-> ( z e. On -> ( z e. suc x -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) ) ) ) |
25 |
|
impexp |
|- ( ( ( z e. On /\ z e. suc x ) -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) <-> ( z e. On -> ( z e. suc x -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) ) ) |
26 |
|
simpr |
|- ( ( z e. On /\ z e. suc x ) -> z e. suc x ) |
27 |
|
suceloni |
|- ( x e. On -> suc x e. On ) |
28 |
|
onelon |
|- ( ( suc x e. On /\ z e. suc x ) -> z e. On ) |
29 |
28
|
ex |
|- ( suc x e. On -> ( z e. suc x -> z e. On ) ) |
30 |
27 29
|
syl |
|- ( x e. On -> ( z e. suc x -> z e. On ) ) |
31 |
30
|
ancrd |
|- ( x e. On -> ( z e. suc x -> ( z e. On /\ z e. suc x ) ) ) |
32 |
26 31
|
impbid2 |
|- ( x e. On -> ( ( z e. On /\ z e. suc x ) <-> z e. suc x ) ) |
33 |
32
|
imbi1d |
|- ( x e. On -> ( ( ( z e. On /\ z e. suc x ) -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) <-> ( z e. suc x -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) ) ) |
34 |
25 33
|
bitr3id |
|- ( x e. On -> ( ( z e. On -> ( z e. suc x -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) ) <-> ( z e. suc x -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) ) ) |
35 |
24 34
|
bitrd |
|- ( x e. On -> ( ( Lim z -> x e. z ) <-> ( z e. suc x -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) ) ) |
36 |
35
|
albidv |
|- ( x e. On -> ( A. z ( Lim z -> x e. z ) <-> A. z ( z e. suc x -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) ) ) |
37 |
|
dfss2 |
|- ( suc x C_ { y e. On | -. Lim y } <-> A. z ( z e. suc x -> z e. { y e. On | -. Lim y } ) ) |
38 |
36 37
|
syl6bbr |
|- ( x e. On -> ( A. z ( Lim z -> x e. z ) <-> suc x C_ { y e. On | -. Lim y } ) ) |
39 |
38
|
rabbiia |
|- { x e. On | A. z ( Lim z -> x e. z ) } = { x e. On | suc x C_ { y e. On | -. Lim y } } |
40 |
1 39
|
eqtri |
|- _om = { x e. On | suc x C_ { y e. On | -. Lim y } } |