Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihjatc1.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dihjatc1.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dihjatc1.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
dihjatc1.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
5 |
|
dihjatc1.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
6 |
|
dihjatc1.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
7 |
|
dihjatc1.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
8 |
|
dihjatc1.s |
|- .(+) = ( LSSum ` U ) |
9 |
|
dihjatc1.i |
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
10 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
11 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> K e. HL ) |
12 |
11
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> K e. Lat ) |
13 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> X e. B ) |
14 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> Y e. B ) |
15 |
1 5
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B ) |
16 |
12 13 14 15
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( X ./\ Y ) e. B ) |
17 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> Q e. A ) |
18 |
1 6
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. B ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> Q e. B ) |
20 |
1 4
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ Q e. B ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) e. B ) |
21 |
12 16 19 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) e. B ) |
22 |
|
simp2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
23 |
|
simp3l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> Q .<_ X ) |
24 |
1 2 3 4 5 6
|
dihmeetlem6 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> -. ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) .<_ W ) |
25 |
10 13 14 22 23 24
|
syl32anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> -. ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) .<_ W ) |
26 |
1 2 4 5 6
|
dihmeetlem5 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ Q .<_ X ) ) -> ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ) |
27 |
11 13 14 17 23 26
|
syl32anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ) |
28 |
27
|
breq1d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) .<_ W <-> ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W ) ) |
29 |
25 28
|
mtbid |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> -. ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W ) |
30 |
1 2 4
|
latlej2 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ Q e. B ) -> Q .<_ ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ) |
31 |
12 16 19 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> Q .<_ ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ) |
32 |
1 2 4 5 6 3 9 7 8
|
dihvalcq2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) e. B /\ -. ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ) ) -> ( I ` ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ) = ( ( I ` Q ) .(+) ( I ` ( ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) |
33 |
10 21 29 22 31 32
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( I ` ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ) = ( ( I ` Q ) .(+) ( I ` ( ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) |
34 |
|
eqid |
|- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K ) |
35 |
2 5 34 6 3
|
lhpmat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( Q ./\ W ) = ( 0. ` K ) ) |
36 |
10 22 35
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( Q ./\ W ) = ( 0. ` K ) ) |
37 |
36
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( Q ./\ W ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ ( 0. ` K ) ) ) |
38 |
|
simp11r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> W e. H ) |
39 |
1 3
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. B ) |
40 |
38 39
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> W e. B ) |
41 |
|
simp3r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ W ) |
42 |
1 2 4 5 6
|
atmod1i2 |
|- ( ( K e. HL /\ ( Q e. A /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ W e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( Q ./\ W ) ) = ( ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ./\ W ) ) |
43 |
11 17 16 40 41 42
|
syl131anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( Q ./\ W ) ) = ( ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ./\ W ) ) |
44 |
|
hlol |
|- ( K e. HL -> K e. OL ) |
45 |
11 44
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> K e. OL ) |
46 |
1 4 34
|
olj01 |
|- ( ( K e. OL /\ ( X ./\ Y ) e. B ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( 0. ` K ) ) = ( X ./\ Y ) ) |
47 |
45 16 46
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( 0. ` K ) ) = ( X ./\ Y ) ) |
48 |
37 43 47
|
3eqtr3d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ./\ W ) = ( X ./\ Y ) ) |
49 |
48
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( I ` ( ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ./\ W ) ) = ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) |
50 |
49
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( ( I ` Q ) .(+) ( I ` ( ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ./\ W ) ) ) = ( ( I ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) ) |
51 |
33 50
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( Q .<_ X /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( I ` ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ) = ( ( I ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) ) |