Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fmptco1f1o.a |
|- A = ( R ^m E ) |
2 |
|
fmptco1f1o.b |
|- B = ( R ^m D ) |
3 |
|
fmptco1f1o.f |
|- F = ( f e. A |-> ( f o. T ) ) |
4 |
|
fmptco1f1o.d |
|- ( ph -> D e. V ) |
5 |
|
fmptco1f1o.e |
|- ( ph -> E e. W ) |
6 |
|
fmptco1f1o.r |
|- ( ph -> R e. X ) |
7 |
|
fmptco1f1o.t |
|- ( ph -> T : D -1-1-onto-> E ) |
8 |
3
|
a1i |
|- ( ph -> F = ( f e. A |-> ( f o. T ) ) ) |
9 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ f e. A ) -> R e. X ) |
10 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ f e. A ) -> D e. V ) |
11 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. A ) |
12 |
11 1
|
eleqtrdi |
|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. ( R ^m E ) ) |
13 |
|
elmapi |
|- ( f e. ( R ^m E ) -> f : E --> R ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : E --> R ) |
15 |
|
f1of |
|- ( T : D -1-1-onto-> E -> T : D --> E ) |
16 |
7 15
|
syl |
|- ( ph -> T : D --> E ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( ph /\ f e. A ) -> T : D --> E ) |
18 |
|
fco |
|- ( ( f : E --> R /\ T : D --> E ) -> ( f o. T ) : D --> R ) |
19 |
14 17 18
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ f e. A ) -> ( f o. T ) : D --> R ) |
20 |
|
elmapg |
|- ( ( R e. X /\ D e. V ) -> ( ( f o. T ) e. ( R ^m D ) <-> ( f o. T ) : D --> R ) ) |
21 |
20
|
biimpar |
|- ( ( ( R e. X /\ D e. V ) /\ ( f o. T ) : D --> R ) -> ( f o. T ) e. ( R ^m D ) ) |
22 |
9 10 19 21
|
syl21anc |
|- ( ( ph /\ f e. A ) -> ( f o. T ) e. ( R ^m D ) ) |
23 |
22 2
|
eleqtrrdi |
|- ( ( ph /\ f e. A ) -> ( f o. T ) e. B ) |
24 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ g e. B ) -> R e. X ) |
25 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ g e. B ) -> E e. W ) |
26 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ g e. B ) -> g e. B ) |
27 |
26 2
|
eleqtrdi |
|- ( ( ph /\ g e. B ) -> g e. ( R ^m D ) ) |
28 |
|
elmapi |
|- ( g e. ( R ^m D ) -> g : D --> R ) |
29 |
27 28
|
syl |
|- ( ( ph /\ g e. B ) -> g : D --> R ) |
30 |
|
f1ocnv |
|- ( T : D -1-1-onto-> E -> `' T : E -1-1-onto-> D ) |
31 |
|
f1of |
|- ( `' T : E -1-1-onto-> D -> `' T : E --> D ) |
32 |
7 30 31
|
3syl |
|- ( ph -> `' T : E --> D ) |
33 |
32
|
adantr |
|- ( ( ph /\ g e. B ) -> `' T : E --> D ) |
34 |
|
fco |
|- ( ( g : D --> R /\ `' T : E --> D ) -> ( g o. `' T ) : E --> R ) |
35 |
29 33 34
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( g o. `' T ) : E --> R ) |
36 |
|
elmapg |
|- ( ( R e. X /\ E e. W ) -> ( ( g o. `' T ) e. ( R ^m E ) <-> ( g o. `' T ) : E --> R ) ) |
37 |
36
|
biimpar |
|- ( ( ( R e. X /\ E e. W ) /\ ( g o. `' T ) : E --> R ) -> ( g o. `' T ) e. ( R ^m E ) ) |
38 |
24 25 35 37
|
syl21anc |
|- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( g o. `' T ) e. ( R ^m E ) ) |
39 |
38 1
|
eleqtrrdi |
|- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( g o. `' T ) e. A ) |
40 |
|
coass |
|- ( ( g o. `' T ) o. T ) = ( g o. ( `' T o. T ) ) |
41 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> T : D -1-1-onto-> E ) |
42 |
|
f1ococnv1 |
|- ( T : D -1-1-onto-> E -> ( `' T o. T ) = ( _I |` D ) ) |
43 |
42
|
coeq2d |
|- ( T : D -1-1-onto-> E -> ( g o. ( `' T o. T ) ) = ( g o. ( _I |` D ) ) ) |
44 |
41 43
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( g o. ( `' T o. T ) ) = ( g o. ( _I |` D ) ) ) |
45 |
29
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> g : D --> R ) |
46 |
|
fcoi1 |
|- ( g : D --> R -> ( g o. ( _I |` D ) ) = g ) |
47 |
45 46
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( g o. ( _I |` D ) ) = g ) |
48 |
44 47
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( g o. ( `' T o. T ) ) = g ) |
49 |
40 48
|
eqtr2id |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> g = ( ( g o. `' T ) o. T ) ) |
50 |
49
|
eqeq1d |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( g = ( f o. T ) <-> ( ( g o. `' T ) o. T ) = ( f o. T ) ) ) |
51 |
|
eqcom |
|- ( ( ( g o. `' T ) o. T ) = ( f o. T ) <-> ( f o. T ) = ( ( g o. `' T ) o. T ) ) |
52 |
51
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( ( ( g o. `' T ) o. T ) = ( f o. T ) <-> ( f o. T ) = ( ( g o. `' T ) o. T ) ) ) |
53 |
|
f1ofo |
|- ( T : D -1-1-onto-> E -> T : D -onto-> E ) |
54 |
41 53
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> T : D -onto-> E ) |
55 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> f e. A ) |
56 |
55 1
|
eleqtrdi |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> f e. ( R ^m E ) ) |
57 |
|
elmapfn |
|- ( f e. ( R ^m E ) -> f Fn E ) |
58 |
56 57
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> f Fn E ) |
59 |
|
elmapfn |
|- ( ( g o. `' T ) e. ( R ^m E ) -> ( g o. `' T ) Fn E ) |
60 |
38 59
|
syl |
|- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( g o. `' T ) Fn E ) |
61 |
60
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( g o. `' T ) Fn E ) |
62 |
|
cocan2 |
|- ( ( T : D -onto-> E /\ f Fn E /\ ( g o. `' T ) Fn E ) -> ( ( f o. T ) = ( ( g o. `' T ) o. T ) <-> f = ( g o. `' T ) ) ) |
63 |
54 58 61 62
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( ( f o. T ) = ( ( g o. `' T ) o. T ) <-> f = ( g o. `' T ) ) ) |
64 |
50 52 63
|
3bitrrd |
|- ( ( ( ph /\ f e. A ) /\ g e. B ) -> ( f = ( g o. `' T ) <-> g = ( f o. T ) ) ) |
65 |
64
|
anasss |
|- ( ( ph /\ ( f e. A /\ g e. B ) ) -> ( f = ( g o. `' T ) <-> g = ( f o. T ) ) ) |
66 |
8 23 39 65
|
f1o3d |
|- ( ph -> ( F : A -1-1-onto-> B /\ `' F = ( g e. B |-> ( g o. `' T ) ) ) ) |
67 |
66
|
simpld |
|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B ) |