Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
funcoppc.o |
|- O = ( oppCat ` C ) |
2 |
|
funcoppc.p |
|- P = ( oppCat ` D ) |
3 |
|
funcoppc.f |
|- ( ph -> F ( C Func D ) G ) |
4 |
|
eqid |
|- ( Base ` C ) = ( Base ` C ) |
5 |
1 4
|
oppcbas |
|- ( Base ` C ) = ( Base ` O ) |
6 |
|
eqid |
|- ( Base ` D ) = ( Base ` D ) |
7 |
2 6
|
oppcbas |
|- ( Base ` D ) = ( Base ` P ) |
8 |
|
eqid |
|- ( Hom ` O ) = ( Hom ` O ) |
9 |
|
eqid |
|- ( Hom ` P ) = ( Hom ` P ) |
10 |
|
eqid |
|- ( Id ` O ) = ( Id ` O ) |
11 |
|
eqid |
|- ( Id ` P ) = ( Id ` P ) |
12 |
|
eqid |
|- ( comp ` O ) = ( comp ` O ) |
13 |
|
eqid |
|- ( comp ` P ) = ( comp ` P ) |
14 |
|
df-br |
|- ( F ( C Func D ) G <-> <. F , G >. e. ( C Func D ) ) |
15 |
3 14
|
sylib |
|- ( ph -> <. F , G >. e. ( C Func D ) ) |
16 |
|
funcrcl |
|- ( <. F , G >. e. ( C Func D ) -> ( C e. Cat /\ D e. Cat ) ) |
17 |
15 16
|
syl |
|- ( ph -> ( C e. Cat /\ D e. Cat ) ) |
18 |
17
|
simpld |
|- ( ph -> C e. Cat ) |
19 |
1
|
oppccat |
|- ( C e. Cat -> O e. Cat ) |
20 |
18 19
|
syl |
|- ( ph -> O e. Cat ) |
21 |
2
|
oppccat |
|- ( D e. Cat -> P e. Cat ) |
22 |
17 21
|
simpl2im |
|- ( ph -> P e. Cat ) |
23 |
4 6 3
|
funcf1 |
|- ( ph -> F : ( Base ` C ) --> ( Base ` D ) ) |
24 |
4 3
|
funcfn2 |
|- ( ph -> G Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) |
25 |
|
tposfn |
|- ( G Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) -> tpos G Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) |
26 |
24 25
|
syl |
|- ( ph -> tpos G Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) |
27 |
|
eqid |
|- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C ) |
28 |
|
eqid |
|- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D ) |
29 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> F ( C Func D ) G ) |
30 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> y e. ( Base ` C ) ) |
31 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> x e. ( Base ` C ) ) |
32 |
4 27 28 29 30 31
|
funcf2 |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) --> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) ) |
33 |
|
ovtpos |
|- ( x tpos G y ) = ( y G x ) |
34 |
33
|
feq1i |
|- ( ( x tpos G y ) : ( x ( Hom ` O ) y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` P ) ( F ` y ) ) <-> ( y G x ) : ( x ( Hom ` O ) y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` P ) ( F ` y ) ) ) |
35 |
27 1
|
oppchom |
|- ( x ( Hom ` O ) y ) = ( y ( Hom ` C ) x ) |
36 |
28 2
|
oppchom |
|- ( ( F ` x ) ( Hom ` P ) ( F ` y ) ) = ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) |
37 |
35 36
|
feq23i |
|- ( ( y G x ) : ( x ( Hom ` O ) y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` P ) ( F ` y ) ) <-> ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) --> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) ) |
38 |
34 37
|
bitri |
|- ( ( x tpos G y ) : ( x ( Hom ` O ) y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` P ) ( F ` y ) ) <-> ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) --> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) ) |
39 |
32 38
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( x tpos G y ) : ( x ( Hom ` O ) y ) --> ( ( F ` x ) ( Hom ` P ) ( F ` y ) ) ) |
40 |
|
eqid |
|- ( Id ` C ) = ( Id ` C ) |
41 |
|
eqid |
|- ( Id ` D ) = ( Id ` D ) |
42 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> F ( C Func D ) G ) |
43 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> x e. ( Base ` C ) ) |
44 |
4 40 41 42 43
|
funcid |
|- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` D ) ` ( F ` x ) ) ) |
45 |
|
ovtpos |
|- ( x tpos G x ) = ( x G x ) |
46 |
45
|
a1i |
|- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( x tpos G x ) = ( x G x ) ) |
47 |
1 40
|
oppcid |
|- ( C e. Cat -> ( Id ` O ) = ( Id ` C ) ) |
48 |
18 47
|
syl |
|- ( ph -> ( Id ` O ) = ( Id ` C ) ) |
49 |
48
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( Id ` O ) = ( Id ` C ) ) |
50 |
49
|
fveq1d |
|- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( Id ` O ) ` x ) = ( ( Id ` C ) ` x ) ) |
51 |
46 50
|
fveq12d |
|- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( x tpos G x ) ` ( ( Id ` O ) ` x ) ) = ( ( x G x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) ) |
52 |
2 41
|
oppcid |
|- ( D e. Cat -> ( Id ` P ) = ( Id ` D ) ) |
53 |
17 52
|
simpl2im |
|- ( ph -> ( Id ` P ) = ( Id ` D ) ) |
54 |
53
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( Id ` P ) = ( Id ` D ) ) |
55 |
54
|
fveq1d |
|- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( Id ` P ) ` ( F ` x ) ) = ( ( Id ` D ) ` ( F ` x ) ) ) |
56 |
44 51 55
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( x tpos G x ) ` ( ( Id ` O ) ` x ) ) = ( ( Id ` P ) ` ( F ` x ) ) ) |
57 |
|
eqid |
|- ( comp ` C ) = ( comp ` C ) |
58 |
|
eqid |
|- ( comp ` D ) = ( comp ` D ) |
59 |
3
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> F ( C Func D ) G ) |
60 |
|
simp23 |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> z e. ( Base ` C ) ) |
61 |
|
simp22 |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> y e. ( Base ` C ) ) |
62 |
|
simp21 |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> x e. ( Base ` C ) ) |
63 |
|
simp3r |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) |
64 |
27 1
|
oppchom |
|- ( y ( Hom ` O ) z ) = ( z ( Hom ` C ) y ) |
65 |
63 64
|
eleqtrdi |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> g e. ( z ( Hom ` C ) y ) ) |
66 |
|
simp3l |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` O ) y ) ) |
67 |
66 35
|
eleqtrdi |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) |
68 |
4 27 57 58 59 60 61 62 65 67
|
funcco |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> ( ( z G x ) ` ( f ( <. z , y >. ( comp ` C ) x ) g ) ) = ( ( ( y G x ) ` f ) ( <. ( F ` z ) , ( F ` y ) >. ( comp ` D ) ( F ` x ) ) ( ( z G y ) ` g ) ) ) |
69 |
4 57 1 62 61 60
|
oppcco |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. ( comp ` O ) z ) f ) = ( f ( <. z , y >. ( comp ` C ) x ) g ) ) |
70 |
69
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> ( ( z G x ) ` ( g ( <. x , y >. ( comp ` O ) z ) f ) ) = ( ( z G x ) ` ( f ( <. z , y >. ( comp ` C ) x ) g ) ) ) |
71 |
23
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> F : ( Base ` C ) --> ( Base ` D ) ) |
72 |
71 62
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` D ) ) |
73 |
71 61
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` D ) ) |
74 |
71 60
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> ( F ` z ) e. ( Base ` D ) ) |
75 |
6 58 2 72 73 74
|
oppcco |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> ( ( ( z G y ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. ( comp ` P ) ( F ` z ) ) ( ( y G x ) ` f ) ) = ( ( ( y G x ) ` f ) ( <. ( F ` z ) , ( F ` y ) >. ( comp ` D ) ( F ` x ) ) ( ( z G y ) ` g ) ) ) |
76 |
68 70 75
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> ( ( z G x ) ` ( g ( <. x , y >. ( comp ` O ) z ) f ) ) = ( ( ( z G y ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. ( comp ` P ) ( F ` z ) ) ( ( y G x ) ` f ) ) ) |
77 |
|
ovtpos |
|- ( x tpos G z ) = ( z G x ) |
78 |
77
|
fveq1i |
|- ( ( x tpos G z ) ` ( g ( <. x , y >. ( comp ` O ) z ) f ) ) = ( ( z G x ) ` ( g ( <. x , y >. ( comp ` O ) z ) f ) ) |
79 |
|
ovtpos |
|- ( y tpos G z ) = ( z G y ) |
80 |
79
|
fveq1i |
|- ( ( y tpos G z ) ` g ) = ( ( z G y ) ` g ) |
81 |
33
|
fveq1i |
|- ( ( x tpos G y ) ` f ) = ( ( y G x ) ` f ) |
82 |
80 81
|
oveq12i |
|- ( ( ( y tpos G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. ( comp ` P ) ( F ` z ) ) ( ( x tpos G y ) ` f ) ) = ( ( ( z G y ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. ( comp ` P ) ( F ` z ) ) ( ( y G x ) ` f ) ) |
83 |
76 78 82
|
3eqtr4g |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) ) ) -> ( ( x tpos G z ) ` ( g ( <. x , y >. ( comp ` O ) z ) f ) ) = ( ( ( y tpos G z ) ` g ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. ( comp ` P ) ( F ` z ) ) ( ( x tpos G y ) ` f ) ) ) |
84 |
5 7 8 9 10 11 12 13 20 22 23 26 39 56 83
|
isfuncd |
|- ( ph -> F ( O Func P ) tpos G ) |