Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
relres |
|- Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) |
2 |
1
|
a1i |
|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) ) |
3 |
|
dmfco |
|- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` X ) e. dom F ) ) |
4 |
3
|
biimpd |
|- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) ) |
5 |
4
|
funfni |
|- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) ) |
6 |
|
dmressnsn |
|- ( ( G ` X ) e. dom F -> dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } ) |
7 |
|
eleq2 |
|- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> x e. { ( G ` X ) } ) ) |
8 |
|
velsn |
|- ( x e. { ( G ` X ) } <-> x = ( G ` X ) ) |
9 |
|
dmressnsn |
|- ( X e. dom ( F o. G ) -> dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } ) |
10 |
|
dffun7 |
|- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) <-> ( Rel ( ( F o. G ) |` { X } ) /\ A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) ) |
11 |
|
snidg |
|- ( X e. dom ( F o. G ) -> X e. { X } ) |
12 |
11
|
adantl |
|- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. { X } ) |
13 |
|
eleq2 |
|- ( { X } = dom ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) ) |
14 |
13
|
eqcoms |
|- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) ) |
16 |
12 15
|
mpbid |
|- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) |
17 |
|
fvex |
|- ( G ` X ) e. _V |
18 |
17
|
isseti |
|- E. z z = ( G ` X ) |
19 |
|
eqcom |
|- ( z = ( G ` X ) <-> ( G ` X ) = z ) |
20 |
|
fnbrfvb |
|- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) = z <-> X G z ) ) |
21 |
19 20
|
syl5bb |
|- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) <-> X G z ) ) |
22 |
21
|
biimpd |
|- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) -> X G z ) ) |
23 |
|
breq1 |
|- ( ( G ` X ) = z -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) ) |
24 |
23
|
eqcoms |
|- ( z = ( G ` X ) -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) ) |
25 |
24
|
biimpcd |
|- ( ( G ` X ) F y -> ( z = ( G ` X ) -> z F y ) ) |
26 |
22 25
|
anim12ii |
|- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( z = ( G ` X ) -> ( X G z /\ z F y ) ) ) |
27 |
26
|
eximdv |
|- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( E. z z = ( G ` X ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) ) ) |
28 |
18 27
|
mpi |
|- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) ) |
29 |
|
simpr |
|- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> X e. A ) |
30 |
|
vex |
|- y e. _V |
31 |
|
brcog |
|- ( ( X e. A /\ y e. _V ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) ) |
32 |
29 30 31
|
sylancl |
|- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) ) |
33 |
32
|
adantr |
|- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) ) |
34 |
28 33
|
mpbird |
|- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( F o. G ) y ) |
35 |
30
|
brresi |
|- ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> ( X e. { X } /\ X ( F o. G ) y ) ) |
36 |
|
snidg |
|- ( X e. A -> X e. { X } ) |
37 |
36
|
biantrurd |
|- ( X e. A -> ( X ( F o. G ) y <-> ( X e. { X } /\ X ( F o. G ) y ) ) ) |
38 |
35 37
|
bitr4id |
|- ( X e. A -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) ) |
39 |
38
|
ad2antlr |
|- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) ) |
40 |
34 39
|
mpbird |
|- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) |
41 |
40
|
ex |
|- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) ) |
42 |
41
|
adantl |
|- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) ) |
43 |
|
breq1 |
|- ( X = x -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) ) |
44 |
43
|
eqcoms |
|- ( x = X -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) ) |
45 |
44
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) ) |
46 |
42 45
|
sylibd |
|- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) ) |
47 |
46
|
moimdv |
|- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) ) |
48 |
47
|
ex |
|- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) |
49 |
48
|
com23 |
|- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) |
50 |
16 49
|
rspcimdv |
|- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) |
51 |
50
|
ex |
|- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) ) |
52 |
51
|
com13 |
|- ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) ) |
53 |
10 52
|
simplbiim |
|- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) ) |
54 |
53
|
com13 |
|- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) ) |
55 |
9 54
|
mpcom |
|- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) |
56 |
55
|
imp31 |
|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( G ` X ) F y ) |
57 |
17
|
snid |
|- ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } |
58 |
57
|
biantrur |
|- ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } /\ ( G ` X ) F y ) ) |
59 |
58
|
a1i |
|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } /\ ( G ` X ) F y ) ) ) |
60 |
59
|
mobidv |
|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y ( G ` X ) F y <-> E* y ( ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } /\ ( G ` X ) F y ) ) ) |
61 |
56 60
|
mpbid |
|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } /\ ( G ` X ) F y ) ) |
62 |
61
|
adantl |
|- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y ( ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } /\ ( G ` X ) F y ) ) |
63 |
|
breq1 |
|- ( x = ( G ` X ) -> ( x ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) |
64 |
30
|
brresi |
|- ( ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } /\ ( G ` X ) F y ) ) |
65 |
63 64
|
bitr2di |
|- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } /\ ( G ` X ) F y ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) |
66 |
65
|
adantr |
|- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( ( ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } /\ ( G ` X ) F y ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) |
67 |
66
|
mobidv |
|- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( E* y ( ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } /\ ( G ` X ) F y ) <-> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) |
68 |
62 67
|
mpbid |
|- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) |
69 |
68
|
ex |
|- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) |
70 |
8 69
|
sylbi |
|- ( x e. { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) |
71 |
7 70
|
syl6bi |
|- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) |
72 |
71
|
com23 |
|- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) |
73 |
6 72
|
syl |
|- ( ( G ` X ) e. dom F -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) |
74 |
5 73
|
syl6com |
|- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) ) |
75 |
74
|
a1d |
|- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) ) ) |
76 |
75
|
imp31 |
|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) |
77 |
76
|
pm2.43i |
|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) |
78 |
77
|
ralrimiv |
|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) |
79 |
|
dffun7 |
|- ( Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> ( Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) /\ A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) |
80 |
2 78 79
|
sylanbrc |
|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) |