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Theorem fzsplit3

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017)

Ref Expression
Assertion fzsplit3 
|- ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elfzelz 
 |-  ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
2 1 zred 
 |-  ( x e. ( M ... N ) -> x e. RR )
3 elfzelz 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
4 3 zred 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> K e. RR )
5 1red 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> 1 e. RR )
6 4 5 resubcld 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> ( K - 1 ) e. RR )
7 lelttric 
 |-  ( ( x e. RR /\ ( K - 1 ) e. RR ) -> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) )
8 2 6 7 syl2anr 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) )
9 elfzuz 
 |-  ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
10 1zzd 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> 1 e. ZZ )
11 3 10 zsubcld 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
12 elfz5 
 |-  ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> x <_ ( K - 1 ) ) )
13 9 11 12 syl2anr 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> x <_ ( K - 1 ) ) )
14 elfzuz3 
 |-  ( x e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
15 14 adantl 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
16 elfzuzb 
 |-  ( x e. ( K ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
17 16 rbaib 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` x ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` K ) ) )
18 15 17 syl 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` K ) ) )
19 eluz 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ x ) )
20 3 1 19 syl2an 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ x ) )
21 zlem1lt 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( K <_ x <-> ( K - 1 ) < x ) )
22 3 1 21 syl2an 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( K <_ x <-> ( K - 1 ) < x ) )
23 18 20 22 3bitrd 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> ( K - 1 ) < x ) )
24 13 23 orbi12d 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) <-> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) ) )
25 8 24 mpbird 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) )
26 elfzuz 
 |-  ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
27 26 adantl 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
28 elfzuz3 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
29 28 adantr 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
30 elfzuz3 
 |-  ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
31 30 adantl 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
32 peano2uz 
 |-  ( ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
33 31 32 syl 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
34 4 recnd 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> K e. CC )
35 5 recnd 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> 1 e. CC )
36 34 35 npcand 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
37 36 eleq1d 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> ( ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) <-> K e. ( ZZ>= ` x ) ) )
38 37 adantr 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) <-> K e. ( ZZ>= ` x ) ) )
39 33 38 mpbid 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. ( ZZ>= ` x ) )
40 uztrn 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` x ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
41 29 39 40 syl2anc 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
42 elfzuzb 
 |-  ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
43 27 41 42 sylanbrc 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
44 elfzuz 
 |-  ( x e. ( K ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
45 elfzuz 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
46 uztrn 
 |-  ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
47 44 45 46 syl2anr 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
48 elfzuz3 
 |-  ( x e. ( K ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
49 48 adantl 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
50 47 49 42 sylanbrc 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
51 43 50 jaodan 
 |-  ( ( K e. ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
52 25 51 impbida 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) ) )
53 elun 
 |-  ( x e. ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) <-> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) )
54 52 53 bitr4di 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x e. ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) ) )
55 54 eqrdv 
 |-  ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) )