Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl |
|- ( ( y = ( Re ` B ) /\ x e. A ) -> y = ( Re ` B ) ) |
2 |
1
|
itgeq2dv |
|- ( y = ( Re ` B ) -> S. A y _d x = S. A ( Re ` B ) _d x ) |
3 |
|
oveq1 |
|- ( y = ( Re ` B ) -> ( y x. ( vol ` A ) ) = ( ( Re ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) |
4 |
2 3
|
eqeq12d |
|- ( y = ( Re ` B ) -> ( S. A y _d x = ( y x. ( vol ` A ) ) <-> S. A ( Re ` B ) _d x = ( ( Re ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) ) |
5 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR ) |
6 |
|
fconstmpt |
|- ( A X. { y } ) = ( x e. A |-> y ) |
7 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> A e. dom vol ) |
8 |
|
simp2 |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( vol ` A ) e. RR ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( vol ` A ) e. RR ) |
10 |
|
simpr |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> y e. RR ) |
11 |
10
|
recnd |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> y e. CC ) |
12 |
|
iblconst |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ y e. CC ) -> ( A X. { y } ) e. L^1 ) |
13 |
7 9 11 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( A X. { y } ) e. L^1 ) |
14 |
6 13
|
eqeltrrid |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( x e. A |-> y ) e. L^1 ) |
15 |
5 14
|
itgrevallem1 |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> S. A y _d x = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) ) ) ) |
16 |
|
ifan |
|- if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ y , y , 0 ) , 0 ) |
17 |
16
|
mpteq2i |
|- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ y , y , 0 ) , 0 ) ) |
18 |
17
|
fveq2i |
|- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ y , y , 0 ) , 0 ) ) ) |
19 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
20 |
|
ifcl |
|- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR ) |
21 |
10 19 20
|
sylancl |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR ) |
22 |
|
max1 |
|- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) |
23 |
19 10 22
|
sylancr |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) |
24 |
|
elrege0 |
|- ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) ) |
25 |
21 23 24
|
sylanbrc |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
26 |
|
itg2const |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ y , y , 0 ) , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) ) |
27 |
7 9 25 26
|
syl3anc |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ y , y , 0 ) , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) ) |
28 |
18 27
|
syl5eq |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) ) |
29 |
|
ifan |
|- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) , 0 ) |
30 |
29
|
mpteq2i |
|- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) , 0 ) ) |
31 |
30
|
fveq2i |
|- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) , 0 ) ) ) |
32 |
|
renegcl |
|- ( y e. RR -> -u y e. RR ) |
33 |
32
|
adantl |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> -u y e. RR ) |
34 |
|
ifcl |
|- ( ( -u y e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. RR ) |
35 |
33 19 34
|
sylancl |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. RR ) |
36 |
|
max1 |
|- ( ( 0 e. RR /\ -u y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) |
37 |
19 33 36
|
sylancr |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) |
38 |
|
elrege0 |
|- ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) ) |
39 |
35 37 38
|
sylanbrc |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
40 |
|
itg2const |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) ) |
41 |
7 9 39 40
|
syl3anc |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) ) |
42 |
31 41
|
syl5eq |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) ) |
43 |
28 42
|
oveq12d |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) ) ) = ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) - ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) ) ) |
44 |
21
|
recnd |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. CC ) |
45 |
35
|
recnd |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. CC ) |
46 |
8
|
recnd |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( vol ` A ) e. CC ) |
47 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( vol ` A ) e. CC ) |
48 |
44 45 47
|
subdird |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) - if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) x. ( vol ` A ) ) = ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) - ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) ) ) |
49 |
|
max0sub |
|- ( y e. RR -> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) - if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) = y ) |
50 |
49
|
adantl |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) - if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) = y ) |
51 |
50
|
oveq1d |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) - if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) x. ( vol ` A ) ) = ( y x. ( vol ` A ) ) ) |
52 |
43 48 51
|
3eqtr2rd |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( y x. ( vol ` A ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) ) ) ) |
53 |
15 52
|
eqtr4d |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> S. A y _d x = ( y x. ( vol ` A ) ) ) |
54 |
53
|
ralrimiva |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> A. y e. RR S. A y _d x = ( y x. ( vol ` A ) ) ) |
55 |
|
recl |
|- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR ) |
56 |
55
|
3ad2ant3 |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR ) |
57 |
4 54 56
|
rspcdva |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> S. A ( Re ` B ) _d x = ( ( Re ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) |
58 |
|
simpl |
|- ( ( y = ( Im ` B ) /\ x e. A ) -> y = ( Im ` B ) ) |
59 |
58
|
itgeq2dv |
|- ( y = ( Im ` B ) -> S. A y _d x = S. A ( Im ` B ) _d x ) |
60 |
|
oveq1 |
|- ( y = ( Im ` B ) -> ( y x. ( vol ` A ) ) = ( ( Im ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) |
61 |
59 60
|
eqeq12d |
|- ( y = ( Im ` B ) -> ( S. A y _d x = ( y x. ( vol ` A ) ) <-> S. A ( Im ` B ) _d x = ( ( Im ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) ) |
62 |
|
imcl |
|- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR ) |
63 |
62
|
3ad2ant3 |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR ) |
64 |
61 54 63
|
rspcdva |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> S. A ( Im ` B ) _d x = ( ( Im ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) |
65 |
64
|
oveq2d |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = ( _i x. ( ( Im ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) ) |
66 |
|
ax-icn |
|- _i e. CC |
67 |
66
|
a1i |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> _i e. CC ) |
68 |
63
|
recnd |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC ) |
69 |
67 68 46
|
mulassd |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` B ) ) x. ( vol ` A ) ) = ( _i x. ( ( Im ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) ) |
70 |
65 69
|
eqtr4d |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = ( ( _i x. ( Im ` B ) ) x. ( vol ` A ) ) ) |
71 |
57 70
|
oveq12d |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( vol ` A ) ) + ( ( _i x. ( Im ` B ) ) x. ( vol ` A ) ) ) ) |
72 |
56
|
recnd |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC ) |
73 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC ) |
74 |
66 68 73
|
sylancr |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC ) |
75 |
72 74 46
|
adddird |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) x. ( vol ` A ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( vol ` A ) ) + ( ( _i x. ( Im ` B ) ) x. ( vol ` A ) ) ) ) |
76 |
71 75
|
eqtr4d |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) x. ( vol ` A ) ) ) |
77 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ x e. A ) -> B e. CC ) |
78 |
|
fconstmpt |
|- ( A X. { B } ) = ( x e. A |-> B ) |
79 |
|
iblconst |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( A X. { B } ) e. L^1 ) |
80 |
78 79
|
eqeltrrid |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 ) |
81 |
77 80
|
itgcnval |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> S. A B _d x = ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) |
82 |
|
replim |
|- ( B e. CC -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) |
83 |
82
|
3ad2ant3 |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) |
84 |
83
|
oveq1d |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( B x. ( vol ` A ) ) = ( ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) x. ( vol ` A ) ) ) |
85 |
76 81 84
|
3eqtr4d |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> S. A B _d x = ( B x. ( vol ` A ) ) ) |