Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lhpocnle.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
lhpocnle.o |
|- ._|_ = ( oc ` K ) |
3 |
|
lhpocnle.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
hlatl |
|- ( K e. HL -> K e. AtLat ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> K e. AtLat ) |
6 |
|
simpr |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> W e. H ) |
7 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
8 |
7 3
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
9 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
10 |
7 2 9 3
|
lhpoc |
|- ( ( K e. HL /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( W e. H <-> ( ._|_ ` W ) e. ( Atoms ` K ) ) ) |
11 |
8 10
|
sylan2 |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( W e. H <-> ( ._|_ ` W ) e. ( Atoms ` K ) ) ) |
12 |
6 11
|
mpbid |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ._|_ ` W ) e. ( Atoms ` K ) ) |
13 |
|
eqid |
|- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K ) |
14 |
13 9
|
atn0 |
|- ( ( K e. AtLat /\ ( ._|_ ` W ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ._|_ ` W ) =/= ( 0. ` K ) ) |
15 |
5 12 14
|
syl2anc |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ._|_ ` W ) =/= ( 0. ` K ) ) |
16 |
15
|
neneqd |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> -. ( ._|_ ` W ) = ( 0. ` K ) ) |
17 |
|
simpr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> ( ._|_ ` W ) .<_ W ) |
18 |
|
hllat |
|- ( K e. HL -> K e. Lat ) |
19 |
18
|
ad2antrr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> K e. Lat ) |
20 |
|
hlop |
|- ( K e. HL -> K e. OP ) |
21 |
20
|
ad2antrr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> K e. OP ) |
22 |
8
|
ad2antlr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
23 |
7 2
|
opoccl |
|- ( ( K e. OP /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ._|_ ` W ) e. ( Base ` K ) ) |
24 |
21 22 23
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> ( ._|_ ` W ) e. ( Base ` K ) ) |
25 |
7 1
|
latref |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ._|_ ` W ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ._|_ ` W ) .<_ ( ._|_ ` W ) ) |
26 |
19 24 25
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> ( ._|_ ` W ) .<_ ( ._|_ ` W ) ) |
27 |
|
eqid |
|- ( meet ` K ) = ( meet ` K ) |
28 |
7 1 27
|
latlem12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( ._|_ ` W ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) /\ ( ._|_ ` W ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( ._|_ ` W ) .<_ W /\ ( ._|_ ` W ) .<_ ( ._|_ ` W ) ) <-> ( ._|_ ` W ) .<_ ( W ( meet ` K ) ( ._|_ ` W ) ) ) ) |
29 |
19 24 22 24 28
|
syl13anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> ( ( ( ._|_ ` W ) .<_ W /\ ( ._|_ ` W ) .<_ ( ._|_ ` W ) ) <-> ( ._|_ ` W ) .<_ ( W ( meet ` K ) ( ._|_ ` W ) ) ) ) |
30 |
17 26 29
|
mpbi2and |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> ( ._|_ ` W ) .<_ ( W ( meet ` K ) ( ._|_ ` W ) ) ) |
31 |
7 2 27 13
|
opnoncon |
|- ( ( K e. OP /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( W ( meet ` K ) ( ._|_ ` W ) ) = ( 0. ` K ) ) |
32 |
21 22 31
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> ( W ( meet ` K ) ( ._|_ ` W ) ) = ( 0. ` K ) ) |
33 |
30 32
|
breqtrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> ( ._|_ ` W ) .<_ ( 0. ` K ) ) |
34 |
7 1 13
|
ople0 |
|- ( ( K e. OP /\ ( ._|_ ` W ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ._|_ ` W ) .<_ ( 0. ` K ) <-> ( ._|_ ` W ) = ( 0. ` K ) ) ) |
35 |
21 24 34
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> ( ( ._|_ ` W ) .<_ ( 0. ` K ) <-> ( ._|_ ` W ) = ( 0. ` K ) ) ) |
36 |
33 35
|
mpbid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` W ) .<_ W ) -> ( ._|_ ` W ) = ( 0. ` K ) ) |
37 |
16 36
|
mtand |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> -. ( ._|_ ` W ) .<_ W ) |