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Theorem lhpocnle

Description: The orthocomplement of a co-atom is not under it. (Contributed by NM, 22-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses lhpocnle.l = ( le ‘ 𝐾 )
lhpocnle.o = ( oc ‘ 𝐾 )
lhpocnle.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
Assertion lhpocnle ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → ¬ ( 𝑊 ) 𝑊 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lhpocnle.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 lhpocnle.o = ( oc ‘ 𝐾 )
3 lhpocnle.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
4 hlatl ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
5 4 adantr ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → 𝐾 ∈ AtLat )
6 simpr ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → 𝑊𝐻 )
7 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
8 7 3 lhpbase ( 𝑊𝐻𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
9 eqid ( Atoms ‘ 𝐾 ) = ( Atoms ‘ 𝐾 )
10 7 2 9 3 lhpoc ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑊𝐻 ↔ ( 𝑊 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) )
11 8 10 sylan2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → ( 𝑊𝐻 ↔ ( 𝑊 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) )
12 6 11 mpbid ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → ( 𝑊 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
13 eqid ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
14 13 9 atn0 ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( 𝑊 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑊 ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
15 5 12 14 syl2anc ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → ( 𝑊 ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
16 15 neneqd ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → ¬ ( 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
17 simpr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → ( 𝑊 ) 𝑊 )
18 hllat ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
19 18 ad2antrr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → 𝐾 ∈ Lat )
20 hlop ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP )
21 20 ad2antrr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → 𝐾 ∈ OP )
22 8 ad2antlr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 7 2 opoccl ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 21 22 23 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → ( 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 7 1 latref ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑊 ) ( 𝑊 ) )
26 19 24 25 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → ( 𝑊 ) ( 𝑊 ) )
27 eqid ( meet ‘ 𝐾 ) = ( meet ‘ 𝐾 )
28 7 1 27 latlem12 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑊 ) 𝑊 ∧ ( 𝑊 ) ( 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑊 ) ( 𝑊 ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑊 ) ) ) )
29 19 24 22 24 28 syl13anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → ( ( ( 𝑊 ) 𝑊 ∧ ( 𝑊 ) ( 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑊 ) ( 𝑊 ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑊 ) ) ) )
30 17 26 29 mpbi2and ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → ( 𝑊 ) ( 𝑊 ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑊 ) ) )
31 7 2 27 13 opnoncon ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑊 ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑊 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
32 21 22 31 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → ( 𝑊 ( meet ‘ 𝐾 ) ( 𝑊 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
33 30 32 breqtrd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → ( 𝑊 ) ( 0. ‘ 𝐾 ) )
34 7 1 13 ople0 ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ ( 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑊 ) ( 0. ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
35 21 24 34 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → ( ( 𝑊 ) ( 0. ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
36 33 35 mpbid ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑊 ) 𝑊 ) → ( 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
37 16 36 mtand ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → ¬ ( 𝑊 ) 𝑊 )