Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lssatle.s |
|- S = ( LSubSp ` W ) |
2 |
|
lssatle.a |
|- A = ( LSAtoms ` W ) |
3 |
|
lssatle.w |
|- ( ph -> W e. LMod ) |
4 |
|
lssatle.t |
|- ( ph -> T e. S ) |
5 |
|
lssatle.u |
|- ( ph -> U e. S ) |
6 |
|
sstr |
|- ( ( p C_ T /\ T C_ U ) -> p C_ U ) |
7 |
6
|
expcom |
|- ( T C_ U -> ( p C_ T -> p C_ U ) ) |
8 |
7
|
ralrimivw |
|- ( T C_ U -> A. p e. A ( p C_ T -> p C_ U ) ) |
9 |
|
ss2rab |
|- ( { p e. A | p C_ T } C_ { p e. A | p C_ U } <-> A. p e. A ( p C_ T -> p C_ U ) ) |
10 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ { p e. A | p C_ T } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> W e. LMod ) |
11 |
1 2
|
lsatlss |
|- ( W e. LMod -> A C_ S ) |
12 |
|
rabss2 |
|- ( A C_ S -> { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } ) |
13 |
|
uniss |
|- ( { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } ) |
14 |
3 11 12 13
|
4syl |
|- ( ph -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } ) |
15 |
|
unimax |
|- ( U e. S -> U. { p e. S | p C_ U } = U ) |
16 |
5 15
|
syl |
|- ( ph -> U. { p e. S | p C_ U } = U ) |
17 |
|
eqid |
|- ( Base ` W ) = ( Base ` W ) |
18 |
17 1
|
lssss |
|- ( U e. S -> U C_ ( Base ` W ) ) |
19 |
5 18
|
syl |
|- ( ph -> U C_ ( Base ` W ) ) |
20 |
16 19
|
eqsstrd |
|- ( ph -> U. { p e. S | p C_ U } C_ ( Base ` W ) ) |
21 |
14 20
|
sstrd |
|- ( ph -> U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) ) |
22 |
21
|
adantr |
|- ( ( ph /\ { p e. A | p C_ T } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) ) |
23 |
|
uniss |
|- ( { p e. A | p C_ T } C_ { p e. A | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ T } C_ U. { p e. A | p C_ U } ) |
24 |
23
|
adantl |
|- ( ( ph /\ { p e. A | p C_ T } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ T } C_ U. { p e. A | p C_ U } ) |
25 |
|
eqid |
|- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W ) |
26 |
17 25
|
lspss |
|- ( ( W e. LMod /\ U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) /\ U. { p e. A | p C_ T } C_ U. { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ T } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) ) |
27 |
10 22 24 26
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ { p e. A | p C_ T } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ T } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) ) |
28 |
27
|
ex |
|- ( ph -> ( { p e. A | p C_ T } C_ { p e. A | p C_ U } -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ T } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) ) ) |
29 |
1 25 2
|
lssats |
|- ( ( W e. LMod /\ T e. S ) -> T = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ T } ) ) |
30 |
3 4 29
|
syl2anc |
|- ( ph -> T = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ T } ) ) |
31 |
1 25 2
|
lssats |
|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) ) |
32 |
3 5 31
|
syl2anc |
|- ( ph -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) ) |
33 |
30 32
|
sseq12d |
|- ( ph -> ( T C_ U <-> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ T } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) ) ) |
34 |
28 33
|
sylibrd |
|- ( ph -> ( { p e. A | p C_ T } C_ { p e. A | p C_ U } -> T C_ U ) ) |
35 |
9 34
|
syl5bir |
|- ( ph -> ( A. p e. A ( p C_ T -> p C_ U ) -> T C_ U ) ) |
36 |
8 35
|
impbid2 |
|- ( ph -> ( T C_ U <-> A. p e. A ( p C_ T -> p C_ U ) ) ) |