Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mgmhmpropd.a |
|- ( ph -> B = ( Base ` J ) ) |
2 |
|
mgmhmpropd.b |
|- ( ph -> C = ( Base ` K ) ) |
3 |
|
mgmhmpropd.c |
|- ( ph -> B = ( Base ` L ) ) |
4 |
|
mgmhmpropd.d |
|- ( ph -> C = ( Base ` M ) ) |
5 |
|
mgmhmpropd.0 |
|- ( ph -> B =/= (/) ) |
6 |
|
mgmhmpropd.C |
|- ( ph -> C =/= (/) ) |
7 |
|
mgmhmpropd.e |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` J ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) ) |
8 |
|
mgmhmpropd.f |
|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) ) |
9 |
7
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) ) |
10 |
9
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) ) |
11 |
|
ffvelrn |
|- ( ( f : B --> C /\ x e. B ) -> ( f ` x ) e. C ) |
12 |
|
ffvelrn |
|- ( ( f : B --> C /\ y e. B ) -> ( f ` y ) e. C ) |
13 |
11 12
|
anim12dan |
|- ( ( f : B --> C /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` x ) e. C /\ ( f ` y ) e. C ) ) |
14 |
8
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. x e. C A. y e. C ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) ) |
15 |
|
oveq1 |
|- ( x = w -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` K ) y ) ) |
16 |
|
oveq1 |
|- ( x = w -> ( x ( +g ` M ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) ) |
17 |
15 16
|
eqeq12d |
|- ( x = w -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) <-> ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) ) ) |
18 |
|
oveq2 |
|- ( y = z -> ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` K ) z ) ) |
19 |
|
oveq2 |
|- ( y = z -> ( w ( +g ` M ) y ) = ( w ( +g ` M ) z ) ) |
20 |
18 19
|
eqeq12d |
|- ( y = z -> ( ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) <-> ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) ) ) |
21 |
17 20
|
cbvral2vw |
|- ( A. x e. C A. y e. C ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) <-> A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) ) |
22 |
14 21
|
sylib |
|- ( ph -> A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) ) |
23 |
|
oveq1 |
|- ( w = ( f ` x ) -> ( w ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) ) |
24 |
|
oveq1 |
|- ( w = ( f ` x ) -> ( w ( +g ` M ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) ) |
25 |
23 24
|
eqeq12d |
|- ( w = ( f ` x ) -> ( ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) <-> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) ) ) |
26 |
|
oveq2 |
|- ( z = ( f ` y ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) |
27 |
|
oveq2 |
|- ( z = ( f ` y ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) |
28 |
26 27
|
eqeq12d |
|- ( z = ( f ` y ) -> ( ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) <-> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) |
29 |
25 28
|
rspc2va |
|- ( ( ( ( f ` x ) e. C /\ ( f ` y ) e. C ) /\ A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) |
30 |
13 22 29
|
syl2anr |
|- ( ( ph /\ ( f : B --> C /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) |
31 |
30
|
anassrs |
|- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) |
32 |
10 31
|
eqeq12d |
|- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) |
33 |
32
|
2ralbidva |
|- ( ( ph /\ f : B --> C ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) |
34 |
33
|
adantrl |
|- ( ( ph /\ ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) |
35 |
|
raleq |
|- ( B = ( Base ` J ) -> ( A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) |
36 |
35
|
raleqbi1dv |
|- ( B = ( Base ` J ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) |
37 |
1 36
|
syl |
|- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) |
38 |
37
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) |
39 |
|
raleq |
|- ( B = ( Base ` L ) -> ( A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) |
40 |
39
|
raleqbi1dv |
|- ( B = ( Base ` L ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) |
41 |
3 40
|
syl |
|- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) |
42 |
41
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) |
43 |
34 38 42
|
3bitr3d |
|- ( ( ph /\ ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) |
44 |
43
|
anassrs |
|- ( ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) /\ f : B --> C ) -> ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) |
45 |
44
|
pm5.32da |
|- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( ( f : B --> C /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : B --> C /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) ) |
46 |
1 2
|
feq23d |
|- ( ph -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) ) ) |
47 |
46
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) ) ) |
48 |
47
|
anbi1d |
|- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( ( f : B --> C /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) ) |
49 |
3 4
|
feq23d |
|- ( ph -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) ) ) |
50 |
49
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) ) ) |
51 |
50
|
anbi1d |
|- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( ( f : B --> C /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) ) |
52 |
45 48 51
|
3bitr3d |
|- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) ) |
53 |
52
|
pm5.32da |
|- ( ph -> ( ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) ) ) |
54 |
1 3 5 7
|
mgmpropd |
|- ( ph -> ( J e. Mgm <-> L e. Mgm ) ) |
55 |
2 4 6 8
|
mgmpropd |
|- ( ph -> ( K e. Mgm <-> M e. Mgm ) ) |
56 |
54 55
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) <-> ( L e. Mgm /\ M e. Mgm ) ) ) |
57 |
56
|
anbi1d |
|- ( ph -> ( ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( L e. Mgm /\ M e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) ) ) |
58 |
53 57
|
bitrd |
|- ( ph -> ( ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( L e. Mgm /\ M e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) ) ) |
59 |
|
eqid |
|- ( Base ` J ) = ( Base ` J ) |
60 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
61 |
|
eqid |
|- ( +g ` J ) = ( +g ` J ) |
62 |
|
eqid |
|- ( +g ` K ) = ( +g ` K ) |
63 |
59 60 61 62
|
ismgmhm |
|- ( f e. ( J MgmHom K ) <-> ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) ) |
64 |
|
eqid |
|- ( Base ` L ) = ( Base ` L ) |
65 |
|
eqid |
|- ( Base ` M ) = ( Base ` M ) |
66 |
|
eqid |
|- ( +g ` L ) = ( +g ` L ) |
67 |
|
eqid |
|- ( +g ` M ) = ( +g ` M ) |
68 |
64 65 66 67
|
ismgmhm |
|- ( f e. ( L MgmHom M ) <-> ( ( L e. Mgm /\ M e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) ) |
69 |
58 63 68
|
3bitr4g |
|- ( ph -> ( f e. ( J MgmHom K ) <-> f e. ( L MgmHom M ) ) ) |
70 |
69
|
eqrdv |
|- ( ph -> ( J MgmHom K ) = ( L MgmHom M ) ) |