Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
monoordxrv.1 |
|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) ) |
2 |
|
monoordxrv.2 |
|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR* ) |
3 |
|
monoordxrv.3 |
|- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) ) |
4 |
|
eluzfz2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) ) |
5 |
1 4
|
syl |
|- ( ph -> N e. ( M ... N ) ) |
6 |
|
eleq1 |
|- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) ) |
7 |
|
fveq2 |
|- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) ) |
8 |
7
|
breq2d |
|- ( x = M -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) |
9 |
6 8
|
imbi12d |
|- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) ) |
10 |
9
|
imbi2d |
|- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) ) ) |
11 |
|
eleq1 |
|- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) ) |
12 |
|
fveq2 |
|- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) ) |
13 |
12
|
breq2d |
|- ( x = n -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) |
14 |
11 13
|
imbi12d |
|- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) ) |
15 |
14
|
imbi2d |
|- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) ) ) |
16 |
|
eleq1 |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) |
17 |
|
fveq2 |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) ) |
18 |
17
|
breq2d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) |
19 |
16 18
|
imbi12d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) |
20 |
19
|
imbi2d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) |
21 |
|
eleq1 |
|- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) ) |
22 |
|
fveq2 |
|- ( x = N -> ( F ` x ) = ( F ` N ) ) |
23 |
22
|
breq2d |
|- ( x = N -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) |
24 |
21 23
|
imbi12d |
|- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) ) |
25 |
24
|
imbi2d |
|- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) ) ) |
26 |
|
eluzfz1 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) ) |
27 |
1 26
|
syl |
|- ( ph -> M e. ( M ... N ) ) |
28 |
2
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR* ) |
29 |
|
fveq2 |
|- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) ) |
30 |
29
|
eleq1d |
|- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. RR* <-> ( F ` M ) e. RR* ) ) |
31 |
30
|
rspcv |
|- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR* -> ( F ` M ) e. RR* ) ) |
32 |
27 28 31
|
sylc |
|- ( ph -> ( F ` M ) e. RR* ) |
33 |
32
|
xrleidd |
|- ( ph -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) |
34 |
33
|
a1d |
|- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) |
35 |
34
|
a1i |
|- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) ) |
36 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) ) |
37 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) |
38 |
|
peano2fzr |
|- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) ) |
39 |
36 37 38
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) ) |
40 |
39
|
expr |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) ) |
41 |
40
|
imim1d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) ) |
42 |
|
eluzelz |
|- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ ) |
43 |
36 42
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ ) |
44 |
|
elfzuz3 |
|- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |
45 |
37 44
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |
46 |
|
eluzp1m1 |
|- ( ( n e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) ) |
47 |
43 45 46
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) ) |
48 |
|
elfzuzb |
|- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) ) ) |
49 |
36 47 48
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) |
50 |
3
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) ) |
51 |
50
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) ) |
52 |
|
fveq2 |
|- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) ) |
53 |
|
fvoveq1 |
|- ( k = n -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) ) |
54 |
52 53
|
breq12d |
|- ( k = n -> ( ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) |
55 |
54
|
rspcv |
|- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> ( A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) |
56 |
49 51 55
|
sylc |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) |
57 |
32
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` M ) e. RR* ) |
58 |
28
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR* ) |
59 |
52
|
eleq1d |
|- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. RR* <-> ( F ` n ) e. RR* ) ) |
60 |
59
|
rspcv |
|- ( n e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR* -> ( F ` n ) e. RR* ) ) |
61 |
39 58 60
|
sylc |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` n ) e. RR* ) |
62 |
|
fveq2 |
|- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) ) |
63 |
62
|
eleq1d |
|- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR* <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR* ) ) |
64 |
63
|
rspcv |
|- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR* -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR* ) ) |
65 |
37 58 64
|
sylc |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR* ) |
66 |
|
xrletr |
|- ( ( ( F ` M ) e. RR* /\ ( F ` n ) e. RR* /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR* ) -> ( ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) /\ ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) |
67 |
57 61 65 66
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) /\ ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) |
68 |
56 67
|
mpan2d |
|- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) |
69 |
41 68
|
animpimp2impd |
|- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) |
70 |
10 15 20 25 35 69
|
uzind4 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) ) |
71 |
1 70
|
mpcom |
|- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) |
72 |
5 71
|
mpd |
|- ( ph -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) |