Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o y ) ) |
2 |
1
|
eqeq2d |
|- ( x = y -> ( A = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o y ) ) ) |
3 |
2
|
cbvrexvw |
|- ( E. x e. _om A = ( 2o .o x ) <-> E. y e. _om A = ( 2o .o y ) ) |
4 |
|
nnneo |
|- ( ( y e. _om /\ x e. _om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) ) |
5 |
4
|
3com23 |
|- ( ( y e. _om /\ A = ( 2o .o y ) /\ x e. _om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) ) |
6 |
5
|
3expa |
|- ( ( ( y e. _om /\ A = ( 2o .o y ) ) /\ x e. _om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) ) |
7 |
6
|
nrexdv |
|- ( ( y e. _om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. E. x e. _om suc A = ( 2o .o x ) ) |
8 |
7
|
rexlimiva |
|- ( E. y e. _om A = ( 2o .o y ) -> -. E. x e. _om suc A = ( 2o .o x ) ) |
9 |
3 8
|
sylbi |
|- ( E. x e. _om A = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. _om suc A = ( 2o .o x ) ) |
10 |
|
suceq |
|- ( y = (/) -> suc y = suc (/) ) |
11 |
10
|
eqeq1d |
|- ( y = (/) -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc (/) = ( 2o .o x ) ) ) |
12 |
11
|
rexbidv |
|- ( y = (/) -> ( E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. _om suc (/) = ( 2o .o x ) ) ) |
13 |
12
|
notbid |
|- ( y = (/) -> ( -. E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. _om suc (/) = ( 2o .o x ) ) ) |
14 |
|
eqeq1 |
|- ( y = (/) -> ( y = ( 2o .o x ) <-> (/) = ( 2o .o x ) ) ) |
15 |
14
|
rexbidv |
|- ( y = (/) -> ( E. x e. _om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. _om (/) = ( 2o .o x ) ) ) |
16 |
13 15
|
imbi12d |
|- ( y = (/) -> ( ( -. E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. _om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om (/) = ( 2o .o x ) ) ) ) |
17 |
|
suceq |
|- ( y = z -> suc y = suc z ) |
18 |
17
|
eqeq1d |
|- ( y = z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
19 |
18
|
rexbidv |
|- ( y = z -> ( E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. _om suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
20 |
19
|
notbid |
|- ( y = z -> ( -. E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. _om suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
21 |
|
eqeq1 |
|- ( y = z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o x ) ) ) |
22 |
21
|
rexbidv |
|- ( y = z -> ( E. x e. _om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. _om z = ( 2o .o x ) ) ) |
23 |
20 22
|
imbi12d |
|- ( y = z -> ( ( -. E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. _om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om z = ( 2o .o x ) ) ) ) |
24 |
|
suceq |
|- ( y = suc z -> suc y = suc suc z ) |
25 |
24
|
eqeq1d |
|- ( y = suc z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
26 |
25
|
rexbidv |
|- ( y = suc z -> ( E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. _om suc suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
27 |
26
|
notbid |
|- ( y = suc z -> ( -. E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. _om suc suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
28 |
|
eqeq1 |
|- ( y = suc z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
29 |
28
|
rexbidv |
|- ( y = suc z -> ( E. x e. _om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. _om suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
30 |
27 29
|
imbi12d |
|- ( y = suc z -> ( ( -. E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. _om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om suc z = ( 2o .o x ) ) ) ) |
31 |
|
suceq |
|- ( y = A -> suc y = suc A ) |
32 |
31
|
eqeq1d |
|- ( y = A -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc A = ( 2o .o x ) ) ) |
33 |
32
|
rexbidv |
|- ( y = A -> ( E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. _om suc A = ( 2o .o x ) ) ) |
34 |
33
|
notbid |
|- ( y = A -> ( -. E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. _om suc A = ( 2o .o x ) ) ) |
35 |
|
eqeq1 |
|- ( y = A -> ( y = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o x ) ) ) |
36 |
35
|
rexbidv |
|- ( y = A -> ( E. x e. _om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. _om A = ( 2o .o x ) ) ) |
37 |
34 36
|
imbi12d |
|- ( y = A -> ( ( -. E. x e. _om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. _om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om A = ( 2o .o x ) ) ) ) |
38 |
|
peano1 |
|- (/) e. _om |
39 |
|
eqid |
|- (/) = (/) |
40 |
|
oveq2 |
|- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o (/) ) ) |
41 |
|
2on |
|- 2o e. On |
42 |
|
om0 |
|- ( 2o e. On -> ( 2o .o (/) ) = (/) ) |
43 |
41 42
|
ax-mp |
|- ( 2o .o (/) ) = (/) |
44 |
40 43
|
eqtrdi |
|- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = (/) ) |
45 |
44
|
rspceeqv |
|- ( ( (/) e. _om /\ (/) = (/) ) -> E. x e. _om (/) = ( 2o .o x ) ) |
46 |
38 39 45
|
mp2an |
|- E. x e. _om (/) = ( 2o .o x ) |
47 |
46
|
a1i |
|- ( -. E. x e. _om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om (/) = ( 2o .o x ) ) |
48 |
1
|
eqeq2d |
|- ( x = y -> ( z = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o y ) ) ) |
49 |
48
|
cbvrexvw |
|- ( E. x e. _om z = ( 2o .o x ) <-> E. y e. _om z = ( 2o .o y ) ) |
50 |
|
peano2 |
|- ( y e. _om -> suc y e. _om ) |
51 |
|
2onn |
|- 2o e. _om |
52 |
|
nnmsuc |
|- ( ( 2o e. _om /\ y e. _om ) -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) ) |
53 |
51 52
|
mpan |
|- ( y e. _om -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) ) |
54 |
|
df-2o |
|- 2o = suc 1o |
55 |
54
|
oveq2i |
|- ( ( 2o .o y ) +o 2o ) = ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) |
56 |
|
nnmcl |
|- ( ( 2o e. _om /\ y e. _om ) -> ( 2o .o y ) e. _om ) |
57 |
51 56
|
mpan |
|- ( y e. _om -> ( 2o .o y ) e. _om ) |
58 |
|
1onn |
|- 1o e. _om |
59 |
|
nnasuc |
|- ( ( ( 2o .o y ) e. _om /\ 1o e. _om ) -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) ) |
60 |
57 58 59
|
sylancl |
|- ( y e. _om -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) ) |
61 |
55 60
|
eqtr2id |
|- ( y e. _om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) ) |
62 |
|
nnon |
|- ( ( 2o .o y ) e. _om -> ( 2o .o y ) e. On ) |
63 |
|
oa1suc |
|- ( ( 2o .o y ) e. On -> ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) ) |
64 |
|
suceq |
|- ( ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) ) |
65 |
57 62 63 64
|
4syl |
|- ( y e. _om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) ) |
66 |
53 61 65
|
3eqtr2rd |
|- ( y e. _om -> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) |
67 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o suc y ) ) |
68 |
67
|
rspceeqv |
|- ( ( suc y e. _om /\ suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) -> E. x e. _om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) |
69 |
50 66 68
|
syl2anc |
|- ( y e. _om -> E. x e. _om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) |
70 |
|
suceq |
|- ( z = ( 2o .o y ) -> suc z = suc ( 2o .o y ) ) |
71 |
|
suceq |
|- ( suc z = suc ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) ) |
72 |
70 71
|
syl |
|- ( z = ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) ) |
73 |
72
|
eqeq1d |
|- ( z = ( 2o .o y ) -> ( suc suc z = ( 2o .o x ) <-> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) ) |
74 |
73
|
rexbidv |
|- ( z = ( 2o .o y ) -> ( E. x e. _om suc suc z = ( 2o .o x ) <-> E. x e. _om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) ) |
75 |
69 74
|
syl5ibrcom |
|- ( y e. _om -> ( z = ( 2o .o y ) -> E. x e. _om suc suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
76 |
75
|
rexlimiv |
|- ( E. y e. _om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. _om suc suc z = ( 2o .o x ) ) |
77 |
76
|
a1i |
|- ( z e. _om -> ( E. y e. _om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. _om suc suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
78 |
49 77
|
syl5bi |
|- ( z e. _om -> ( E. x e. _om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om suc suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
79 |
78
|
con3d |
|- ( z e. _om -> ( -. E. x e. _om suc suc z = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. _om z = ( 2o .o x ) ) ) |
80 |
|
con1 |
|- ( ( -. E. x e. _om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. _om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om suc z = ( 2o .o x ) ) ) |
81 |
79 80
|
syl9 |
|- ( z e. _om -> ( ( -. E. x e. _om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. _om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om suc z = ( 2o .o x ) ) ) ) |
82 |
16 23 30 37 47 81
|
finds |
|- ( A e. _om -> ( -. E. x e. _om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. _om A = ( 2o .o x ) ) ) |
83 |
9 82
|
impbid2 |
|- ( A e. _om -> ( E. x e. _om A = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. _om suc A = ( 2o .o x ) ) ) |