Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ocval |
|- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) = { x e. ~H | A. y e. A ( x .ih y ) = 0 } ) |
2 |
|
ssrab2 |
|- { x e. ~H | A. y e. A ( x .ih y ) = 0 } C_ ~H |
3 |
1 2
|
eqsstrdi |
|- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) C_ ~H ) |
4 |
|
ssel |
|- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> y e. ~H ) ) |
5 |
|
hi01 |
|- ( y e. ~H -> ( 0h .ih y ) = 0 ) |
6 |
4 5
|
syl6 |
|- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> ( 0h .ih y ) = 0 ) ) |
7 |
6
|
ralrimiv |
|- ( A C_ ~H -> A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 ) |
8 |
|
ax-hv0cl |
|- 0h e. ~H |
9 |
7 8
|
jctil |
|- ( A C_ ~H -> ( 0h e. ~H /\ A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 ) ) |
10 |
|
ocel |
|- ( A C_ ~H -> ( 0h e. ( _|_ ` A ) <-> ( 0h e. ~H /\ A. y e. A ( 0h .ih y ) = 0 ) ) ) |
11 |
9 10
|
mpbird |
|- ( A C_ ~H -> 0h e. ( _|_ ` A ) ) |
12 |
3 11
|
jca |
|- ( A C_ ~H -> ( ( _|_ ` A ) C_ ~H /\ 0h e. ( _|_ ` A ) ) ) |
13 |
|
ssel2 |
|- ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) -> z e. ~H ) |
14 |
|
ax-his2 |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) ) |
15 |
14
|
3expa |
|- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) ) |
16 |
|
oveq12 |
|- ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) = ( 0 + 0 ) ) |
17 |
|
00id |
|- ( 0 + 0 ) = 0 |
18 |
16 17
|
eqtrdi |
|- ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .ih z ) + ( y .ih z ) ) = 0 ) |
19 |
15 18
|
sylan9eq |
|- ( ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) /\ ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) |
20 |
19
|
ex |
|- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) |
21 |
20
|
ancoms |
|- ( ( z e. ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) |
22 |
13 21
|
sylan |
|- ( ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) |
23 |
22
|
an32s |
|- ( ( ( A C_ ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) /\ z e. A ) -> ( ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) |
24 |
23
|
ralimdva |
|- ( ( A C_ ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) -> A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) |
25 |
24
|
imdistanda |
|- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) ) |
26 |
|
hvaddcl |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x +h y ) e. ~H ) |
27 |
26
|
anim1i |
|- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) -> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) |
28 |
25 27
|
syl6 |
|- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) -> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) ) |
29 |
|
ocel |
|- ( A C_ ~H -> ( x e. ( _|_ ` A ) <-> ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) ) ) |
30 |
|
ocel |
|- ( A C_ ~H -> ( y e. ( _|_ ` A ) <-> ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) |
31 |
29 30
|
anbi12d |
|- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) ) |
32 |
|
an4 |
|- ( ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) |
33 |
|
r19.26 |
|- ( A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) <-> ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) |
34 |
33
|
anbi2i |
|- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( A. z e. A ( x .ih z ) = 0 /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) |
35 |
32 34
|
bitr4i |
|- ( ( ( x e. ~H /\ A. z e. A ( x .ih z ) = 0 ) /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) ) |
36 |
31 35
|
syl6bb |
|- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .ih z ) = 0 /\ ( y .ih z ) = 0 ) ) ) ) |
37 |
|
ocel |
|- ( A C_ ~H -> ( ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) <-> ( ( x +h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x +h y ) .ih z ) = 0 ) ) ) |
38 |
28 36 37
|
3imtr4d |
|- ( A C_ ~H -> ( ( x e. ( _|_ ` A ) /\ y e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) ) ) |
39 |
38
|
ralrimivv |
|- ( A C_ ~H -> A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) ) |
40 |
|
mul01 |
|- ( x e. CC -> ( x x. 0 ) = 0 ) |
41 |
|
oveq2 |
|- ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = ( x x. 0 ) ) |
42 |
41
|
eqeq1d |
|- ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 <-> ( x x. 0 ) = 0 ) ) |
43 |
40 42
|
syl5ibrcom |
|- ( x e. CC -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) ) |
44 |
43
|
ad2antrl |
|- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) ) |
45 |
|
ax-his3 |
|- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) .ih z ) = ( x x. ( y .ih z ) ) ) |
46 |
45
|
eqeq1d |
|- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) ) |
47 |
46
|
3expa |
|- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) ) |
48 |
47
|
ancoms |
|- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 <-> ( x x. ( y .ih z ) ) = 0 ) ) |
49 |
44 48
|
sylibrd |
|- ( ( z e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) |
50 |
13 49
|
sylan |
|- ( ( ( A C_ ~H /\ z e. A ) /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) |
51 |
50
|
an32s |
|- ( ( ( A C_ ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. A ) -> ( ( y .ih z ) = 0 -> ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) |
52 |
51
|
ralimdva |
|- ( ( A C_ ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( A. z e. A ( y .ih z ) = 0 -> A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) |
53 |
52
|
imdistanda |
|- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) ) |
54 |
|
hvmulcl |
|- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H ) |
55 |
54
|
anim1i |
|- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) |
56 |
53 55
|
syl6 |
|- ( A C_ ~H -> ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) -> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) ) |
57 |
30
|
anbi2d |
|- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( x e. CC /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) ) |
58 |
|
anass |
|- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) <-> ( x e. CC /\ ( y e. ~H /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) |
59 |
57 58
|
bitr4di |
|- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) <-> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ A. z e. A ( y .ih z ) = 0 ) ) ) |
60 |
|
ocel |
|- ( A C_ ~H -> ( ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) <-> ( ( x .h y ) e. ~H /\ A. z e. A ( ( x .h y ) .ih z ) = 0 ) ) ) |
61 |
56 59 60
|
3imtr4d |
|- ( A C_ ~H -> ( ( x e. CC /\ y e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) ) |
62 |
61
|
ralrimivv |
|- ( A C_ ~H -> A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) |
63 |
39 62
|
jca |
|- ( A C_ ~H -> ( A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) /\ A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) ) |
64 |
|
issh2 |
|- ( ( _|_ ` A ) e. SH <-> ( ( ( _|_ ` A ) C_ ~H /\ 0h e. ( _|_ ` A ) ) /\ ( A. x e. ( _|_ ` A ) A. y e. ( _|_ ` A ) ( x +h y ) e. ( _|_ ` A ) /\ A. x e. CC A. y e. ( _|_ ` A ) ( x .h y ) e. ( _|_ ` A ) ) ) ) |
65 |
12 63 64
|
sylanbrc |
|- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) e. SH ) |