Metamath Proof Explorer

Theorem opabex3rd

Description: Existence of an ordered pair abstraction if the second components are elements of a set. (Contributed by AV, 17-Sep-2023) (Revised by AV, 9-Aug-2024)

Ref Expression
Hypotheses opabex3rd.1 
|- ( ph -> A e. V )
opabex3rd.2 
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> { x | ps } e. _V )
Assertion opabex3rd 
|- ( ph -> { <. x , y >. | ( y e. A /\ ps ) } e. _V )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opabex3rd.1 
 |-  ( ph -> A e. V )
2 opabex3rd.2 
 |-  ( ( ph /\ y e. A ) -> { x | ps } e. _V )
3 19.42v 
 |-  ( E. x ( y e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> ( y e. A /\ E. x ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
4 an12 
 |-  ( ( z = <. x , y >. /\ ( y e. A /\ ps ) ) <-> ( y e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
5 4 exbii 
 |-  ( E. x ( z = <. x , y >. /\ ( y e. A /\ ps ) ) <-> E. x ( y e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
6 elxp 
 |-  ( z e. ( { x | ps } X. { y } ) <-> E. w E. v ( z = <. w , v >. /\ ( w e. { x | ps } /\ v e. { y } ) ) )
7 ancom 
 |-  ( ( w e. { x | ps } /\ v e. { y } ) <-> ( v e. { y } /\ w e. { x | ps } ) )
8 7 anbi2i 
 |-  ( ( z = <. w , v >. /\ ( w e. { x | ps } /\ v e. { y } ) ) <-> ( z = <. w , v >. /\ ( v e. { y } /\ w e. { x | ps } ) ) )
9 8 2exbii 
 |-  ( E. w E. v ( z = <. w , v >. /\ ( w e. { x | ps } /\ v e. { y } ) ) <-> E. w E. v ( z = <. w , v >. /\ ( v e. { y } /\ w e. { x | ps } ) ) )
10 6 9 bitri 
 |-  ( z e. ( { x | ps } X. { y } ) <-> E. w E. v ( z = <. w , v >. /\ ( v e. { y } /\ w e. { x | ps } ) ) )
11 an12 
 |-  ( ( z = <. w , v >. /\ ( v e. { y } /\ w e. { x | ps } ) ) <-> ( v e. { y } /\ ( z = <. w , v >. /\ w e. { x | ps } ) ) )
12 velsn 
 |-  ( v e. { y } <-> v = y )
13 12 anbi1i 
 |-  ( ( v e. { y } /\ ( z = <. w , v >. /\ w e. { x | ps } ) ) <-> ( v = y /\ ( z = <. w , v >. /\ w e. { x | ps } ) ) )
14 11 13 bitri 
 |-  ( ( z = <. w , v >. /\ ( v e. { y } /\ w e. { x | ps } ) ) <-> ( v = y /\ ( z = <. w , v >. /\ w e. { x | ps } ) ) )
15 14 exbii 
 |-  ( E. v ( z = <. w , v >. /\ ( v e. { y } /\ w e. { x | ps } ) ) <-> E. v ( v = y /\ ( z = <. w , v >. /\ w e. { x | ps } ) ) )
16 opeq2 
 |-  ( v = y -> <. w , v >. = <. w , y >. )
17 16 eqeq2d 
 |-  ( v = y -> ( z = <. w , v >. <-> z = <. w , y >. ) )
18 17 anbi1d 
 |-  ( v = y -> ( ( z = <. w , v >. /\ w e. { x | ps } ) <-> ( z = <. w , y >. /\ w e. { x | ps } ) ) )
19 18 equsexvw 
 |-  ( E. v ( v = y /\ ( z = <. w , v >. /\ w e. { x | ps } ) ) <-> ( z = <. w , y >. /\ w e. { x | ps } ) )
20 15 19 bitri 
 |-  ( E. v ( z = <. w , v >. /\ ( v e. { y } /\ w e. { x | ps } ) ) <-> ( z = <. w , y >. /\ w e. { x | ps } ) )
21 20 exbii 
 |-  ( E. w E. v ( z = <. w , v >. /\ ( v e. { y } /\ w e. { x | ps } ) ) <-> E. w ( z = <. w , y >. /\ w e. { x | ps } ) )
22 nfv 
 |-  F/ x z = <. w , y >.
23 nfsab1 
 |-  F/ x w e. { x | ps }
24 22 23 nfan 
 |-  F/ x ( z = <. w , y >. /\ w e. { x | ps } )
25 nfv 
 |-  F/ w ( z = <. x , y >. /\ ps )
26 opeq1 
 |-  ( w = x -> <. w , y >. = <. x , y >. )
27 26 eqeq2d 
 |-  ( w = x -> ( z = <. w , y >. <-> z = <. x , y >. ) )
28 df-clab 
 |-  ( w e. { x | ps } <-> [ w / x ] ps )
29 sbequ12 
 |-  ( x = w -> ( ps <-> [ w / x ] ps ) )
30 29 equcoms 
 |-  ( w = x -> ( ps <-> [ w / x ] ps ) )
31 28 30 bitr4id 
 |-  ( w = x -> ( w e. { x | ps } <-> ps ) )
32 27 31 anbi12d 
 |-  ( w = x -> ( ( z = <. w , y >. /\ w e. { x | ps } ) <-> ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
33 24 25 32 cbvexv1 
 |-  ( E. w ( z = <. w , y >. /\ w e. { x | ps } ) <-> E. x ( z = <. x , y >. /\ ps ) )
34 10 21 33 3bitri 
 |-  ( z e. ( { x | ps } X. { y } ) <-> E. x ( z = <. x , y >. /\ ps ) )
35 34 anbi2i 
 |-  ( ( y e. A /\ z e. ( { x | ps } X. { y } ) ) <-> ( y e. A /\ E. x ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
36 3 5 35 3bitr4ri 
 |-  ( ( y e. A /\ z e. ( { x | ps } X. { y } ) ) <-> E. x ( z = <. x , y >. /\ ( y e. A /\ ps ) ) )
37 36 exbii 
 |-  ( E. y ( y e. A /\ z e. ( { x | ps } X. { y } ) ) <-> E. y E. x ( z = <. x , y >. /\ ( y e. A /\ ps ) ) )
38 excom 
 |-  ( E. y E. x ( z = <. x , y >. /\ ( y e. A /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( y e. A /\ ps ) ) )
39 37 38 bitri 
 |-  ( E. y ( y e. A /\ z e. ( { x | ps } X. { y } ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( y e. A /\ ps ) ) )
40 eliun 
 |-  ( z e. U_ y e. A ( { x | ps } X. { y } ) <-> E. y e. A z e. ( { x | ps } X. { y } ) )
41 df-rex 
 |-  ( E. y e. A z e. ( { x | ps } X. { y } ) <-> E. y ( y e. A /\ z e. ( { x | ps } X. { y } ) ) )
42 40 41 bitri 
 |-  ( z e. U_ y e. A ( { x | ps } X. { y } ) <-> E. y ( y e. A /\ z e. ( { x | ps } X. { y } ) ) )
43 elopab 
 |-  ( z e. { <. x , y >. | ( y e. A /\ ps ) } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( y e. A /\ ps ) ) )
44 39 42 43 3bitr4i 
 |-  ( z e. U_ y e. A ( { x | ps } X. { y } ) <-> z e. { <. x , y >. | ( y e. A /\ ps ) } )
45 44 eqriv 
 |-  U_ y e. A ( { x | ps } X. { y } ) = { <. x , y >. | ( y e. A /\ ps ) }
46 snex 
 |-  { y } e. _V
47 xpexg 
 |-  ( ( { x | ps } e. _V /\ { y } e. _V ) -> ( { x | ps } X. { y } ) e. _V )
48 2 46 47 sylancl 
 |-  ( ( ph /\ y e. A ) -> ( { x | ps } X. { y } ) e. _V )
49 48 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. y e. A ( { x | ps } X. { y } ) e. _V )
50 iunexg 
 |-  ( ( A e. V /\ A. y e. A ( { x | ps } X. { y } ) e. _V ) -> U_ y e. A ( { x | ps } X. { y } ) e. _V )
51 1 49 50 syl2anc 
 |-  ( ph -> U_ y e. A ( { x | ps } X. { y } ) e. _V )
52 45 51 eqeltrrid 
 |-  ( ph -> { <. x , y >. | ( y e. A /\ ps ) } e. _V )