Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ordtypelem.1 |
|- F = recs ( G ) |
2 |
|
ordtypelem.2 |
|- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w } |
3 |
|
ordtypelem.3 |
|- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) ) |
4 |
|
ordtypelem.5 |
|- T = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } |
5 |
|
ordtypelem.6 |
|- O = OrdIso ( R , A ) |
6 |
|
ordtypelem.7 |
|- ( ph -> R We A ) |
7 |
|
ordtypelem.8 |
|- ( ph -> R Se A ) |
8 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> M e. ( T i^i dom F ) ) |
9 |
8
|
elin2d |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> M e. dom F ) |
10 |
1
|
tfr2a |
|- ( M e. dom F -> ( F ` M ) = ( G ` ( F |` M ) ) ) |
11 |
9 10
|
syl |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( F ` M ) = ( G ` ( F |` M ) ) ) |
12 |
1
|
tfr1a |
|- ( Fun F /\ Lim dom F ) |
13 |
12
|
simpri |
|- Lim dom F |
14 |
|
limord |
|- ( Lim dom F -> Ord dom F ) |
15 |
13 14
|
ax-mp |
|- Ord dom F |
16 |
|
ordelord |
|- ( ( Ord dom F /\ M e. dom F ) -> Ord M ) |
17 |
15 9 16
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> Ord M ) |
18 |
1
|
tfr2b |
|- ( Ord M -> ( M e. dom F <-> ( F |` M ) e. _V ) ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( M e. dom F <-> ( F |` M ) e. _V ) ) |
20 |
9 19
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( F |` M ) e. _V ) |
21 |
|
rneq |
|- ( h = ( F |` M ) -> ran h = ran ( F |` M ) ) |
22 |
|
df-ima |
|- ( F " M ) = ran ( F |` M ) |
23 |
21 22
|
eqtr4di |
|- ( h = ( F |` M ) -> ran h = ( F " M ) ) |
24 |
23
|
raleqdv |
|- ( h = ( F |` M ) -> ( A. j e. ran h j R w <-> A. j e. ( F " M ) j R w ) ) |
25 |
24
|
rabbidv |
|- ( h = ( F |` M ) -> { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } ) |
26 |
2 25
|
eqtrid |
|- ( h = ( F |` M ) -> C = { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } ) |
27 |
26
|
raleqdv |
|- ( h = ( F |` M ) -> ( A. u e. C -. u R v <-> A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) ) |
28 |
26 27
|
riotaeqbidv |
|- ( h = ( F |` M ) -> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) ) |
29 |
|
riotaex |
|- ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) e. _V |
30 |
28 3 29
|
fvmpt |
|- ( ( F |` M ) e. _V -> ( G ` ( F |` M ) ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) ) |
31 |
20 30
|
syl |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( G ` ( F |` M ) ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) ) |
32 |
11 31
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( F ` M ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) ) |
33 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> R We A ) |
34 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> R Se A ) |
35 |
|
ssrab2 |
|- { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } C_ A |
36 |
35
|
a1i |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } C_ A ) |
37 |
8
|
elin1d |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> M e. T ) |
38 |
|
imaeq2 |
|- ( x = M -> ( F " x ) = ( F " M ) ) |
39 |
38
|
raleqdv |
|- ( x = M -> ( A. z e. ( F " x ) z R t <-> A. z e. ( F " M ) z R t ) ) |
40 |
39
|
rexbidv |
|- ( x = M -> ( E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t <-> E. t e. A A. z e. ( F " M ) z R t ) ) |
41 |
40 4
|
elrab2 |
|- ( M e. T <-> ( M e. On /\ E. t e. A A. z e. ( F " M ) z R t ) ) |
42 |
41
|
simprbi |
|- ( M e. T -> E. t e. A A. z e. ( F " M ) z R t ) |
43 |
37 42
|
syl |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> E. t e. A A. z e. ( F " M ) z R t ) |
44 |
|
breq1 |
|- ( j = z -> ( j R w <-> z R w ) ) |
45 |
44
|
cbvralvw |
|- ( A. j e. ( F " M ) j R w <-> A. z e. ( F " M ) z R w ) |
46 |
|
breq2 |
|- ( w = t -> ( z R w <-> z R t ) ) |
47 |
46
|
ralbidv |
|- ( w = t -> ( A. z e. ( F " M ) z R w <-> A. z e. ( F " M ) z R t ) ) |
48 |
45 47
|
syl5bb |
|- ( w = t -> ( A. j e. ( F " M ) j R w <-> A. z e. ( F " M ) z R t ) ) |
49 |
48
|
cbvrexvw |
|- ( E. w e. A A. j e. ( F " M ) j R w <-> E. t e. A A. z e. ( F " M ) z R t ) |
50 |
43 49
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> E. w e. A A. j e. ( F " M ) j R w ) |
51 |
|
rabn0 |
|- ( { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } =/= (/) <-> E. w e. A A. j e. ( F " M ) j R w ) |
52 |
50 51
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } =/= (/) ) |
53 |
|
wereu2 |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } C_ A /\ { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } =/= (/) ) ) -> E! v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) |
54 |
33 34 36 52 53
|
syl22anc |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> E! v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) |
55 |
|
riotacl2 |
|- ( E! v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v -> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) e. { v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } | A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v } ) |
56 |
54 55
|
syl |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) e. { v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } | A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v } ) |
57 |
32 56
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( F ` M ) e. { v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } | A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v } ) |