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Theorem ordtypelem9

Description: Lemma for ordtype . Either the function OrdIso is an isomorphism onto all of A , or OrdIso is not a set, which by oif implies that either ran O C_ A is a proper class or dom O = On . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015) (Revised by AV, 28-Jul-2024)

Ref Expression
Hypotheses ordtypelem.1 
|- F = recs ( G )
ordtypelem.2 
|- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
ordtypelem.3 
|- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
ordtypelem.5 
|- T = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6 
|- O = OrdIso ( R , A )
ordtypelem.7 
|- ( ph -> R We A )
ordtypelem.8 
|- ( ph -> R Se A )
ordtypelem9.1 
|- ( ph -> O e. V )
Assertion ordtypelem9 
|- ( ph -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ordtypelem.1 
 |-  F = recs ( G )
2 ordtypelem.2 
 |-  C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
3 ordtypelem.3 
 |-  G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
4 ordtypelem.5 
 |-  T = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t }
5 ordtypelem.6 
 |-  O = OrdIso ( R , A )
6 ordtypelem.7 
 |-  ( ph -> R We A )
7 ordtypelem.8 
 |-  ( ph -> R Se A )
8 ordtypelem9.1 
 |-  ( ph -> O e. V )
9 1 2 3 4 5 6 7 ordtypelem8 
 |-  ( ph -> O Isom _E , R ( dom O , ran O ) )
10 1 2 3 4 5 6 7 ordtypelem4 
 |-  ( ph -> O : ( T i^i dom F ) --> A )
11 10 frnd 
 |-  ( ph -> ran O C_ A )
12 1 2 3 4 5 6 7 ordtypelem2 
 |-  ( ph -> Ord T )
13 ordirr 
 |-  ( Ord T -> -. T e. T )
14 12 13 syl 
 |-  ( ph -> -. T e. T )
15 1 tfr1a 
 |-  ( Fun F /\ Lim dom F )
16 15 simpri 
 |-  Lim dom F
17 limord 
 |-  ( Lim dom F -> Ord dom F )
18 16 17 ax-mp 
 |-  Ord dom F
19 1 2 3 4 5 6 7 ordtypelem1 
 |-  ( ph -> O = ( F |` T ) )
20 8 elexd 
 |-  ( ph -> O e. _V )
21 19 20 eqeltrrd 
 |-  ( ph -> ( F |` T ) e. _V )
22 1 tfr2b 
 |-  ( Ord T -> ( T e. dom F <-> ( F |` T ) e. _V ) )
23 12 22 syl 
 |-  ( ph -> ( T e. dom F <-> ( F |` T ) e. _V ) )
24 21 23 mpbird 
 |-  ( ph -> T e. dom F )
25 ordelon 
 |-  ( ( Ord dom F /\ T e. dom F ) -> T e. On )
26 18 24 25 sylancr 
 |-  ( ph -> T e. On )
27 imaeq2 
 |-  ( a = T -> ( F " a ) = ( F " T ) )
28 27 raleqdv 
 |-  ( a = T -> ( A. c e. ( F " a ) c R b <-> A. c e. ( F " T ) c R b ) )
29 28 rexbidv 
 |-  ( a = T -> ( E. b e. A A. c e. ( F " a ) c R b <-> E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b ) )
30 breq1 
 |-  ( z = c -> ( z R t <-> c R t ) )
31 30 cbvralvw 
 |-  ( A. z e. ( F " x ) z R t <-> A. c e. ( F " x ) c R t )
32 breq2 
 |-  ( t = b -> ( c R t <-> c R b ) )
33 32 ralbidv 
 |-  ( t = b -> ( A. c e. ( F " x ) c R t <-> A. c e. ( F " x ) c R b ) )
34 31 33 syl5bb 
 |-  ( t = b -> ( A. z e. ( F " x ) z R t <-> A. c e. ( F " x ) c R b ) )
35 34 cbvrexvw 
 |-  ( E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t <-> E. b e. A A. c e. ( F " x ) c R b )
36 imaeq2 
 |-  ( x = a -> ( F " x ) = ( F " a ) )
37 36 raleqdv 
 |-  ( x = a -> ( A. c e. ( F " x ) c R b <-> A. c e. ( F " a ) c R b ) )
38 37 rexbidv 
 |-  ( x = a -> ( E. b e. A A. c e. ( F " x ) c R b <-> E. b e. A A. c e. ( F " a ) c R b ) )
39 35 38 syl5bb 
 |-  ( x = a -> ( E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t <-> E. b e. A A. c e. ( F " a ) c R b ) )
40 39 cbvrabv 
 |-  { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } = { a e. On | E. b e. A A. c e. ( F " a ) c R b }
41 4 40 eqtri 
 |-  T = { a e. On | E. b e. A A. c e. ( F " a ) c R b }
42 29 41 elrab2 
 |-  ( T e. T <-> ( T e. On /\ E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b ) )
43 42 baib 
 |-  ( T e. On -> ( T e. T <-> E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b ) )
44 26 43 syl 
 |-  ( ph -> ( T e. T <-> E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b ) )
45 14 44 mtbid 
 |-  ( ph -> -. E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b )
46 ralnex 
 |-  ( A. b e. A -. A. c e. ( F " T ) c R b <-> -. E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b )
47 45 46 sylibr 
 |-  ( ph -> A. b e. A -. A. c e. ( F " T ) c R b )
48 47 r19.21bi 
 |-  ( ( ph /\ b e. A ) -> -. A. c e. ( F " T ) c R b )
49 19 rneqd 
 |-  ( ph -> ran O = ran ( F |` T ) )
50 df-ima 
 |-  ( F " T ) = ran ( F |` T )
51 49 50 eqtr4di 
 |-  ( ph -> ran O = ( F " T ) )
52 51 adantr 
 |-  ( ( ph /\ b e. A ) -> ran O = ( F " T ) )
53 52 raleqdv 
 |-  ( ( ph /\ b e. A ) -> ( A. c e. ran O c R b <-> A. c e. ( F " T ) c R b ) )
54 10 ffund 
 |-  ( ph -> Fun O )
55 54 funfnd 
 |-  ( ph -> O Fn dom O )
56 55 adantr 
 |-  ( ( ph /\ b e. A ) -> O Fn dom O )
57 breq1 
 |-  ( c = ( O ` m ) -> ( c R b <-> ( O ` m ) R b ) )
58 57 ralrn 
 |-  ( O Fn dom O -> ( A. c e. ran O c R b <-> A. m e. dom O ( O ` m ) R b ) )
59 56 58 syl 
 |-  ( ( ph /\ b e. A ) -> ( A. c e. ran O c R b <-> A. m e. dom O ( O ` m ) R b ) )
60 53 59 bitr3d 
 |-  ( ( ph /\ b e. A ) -> ( A. c e. ( F " T ) c R b <-> A. m e. dom O ( O ` m ) R b ) )
61 48 60 mtbid 
 |-  ( ( ph /\ b e. A ) -> -. A. m e. dom O ( O ` m ) R b )
62 rexnal 
 |-  ( E. m e. dom O -. ( O ` m ) R b <-> -. A. m e. dom O ( O ` m ) R b )
63 61 62 sylibr 
 |-  ( ( ph /\ b e. A ) -> E. m e. dom O -. ( O ` m ) R b )
64 1 2 3 4 5 6 7 ordtypelem7 
 |-  ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ m e. dom O ) -> ( ( O ` m ) R b \/ b e. ran O ) )
65 64 ord 
 |-  ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ m e. dom O ) -> ( -. ( O ` m ) R b -> b e. ran O ) )
66 65 rexlimdva 
 |-  ( ( ph /\ b e. A ) -> ( E. m e. dom O -. ( O ` m ) R b -> b e. ran O ) )
67 63 66 mpd 
 |-  ( ( ph /\ b e. A ) -> b e. ran O )
68 11 67 eqelssd 
 |-  ( ph -> ran O = A )
69 isoeq5 
 |-  ( ran O = A -> ( O Isom _E , R ( dom O , ran O ) <-> O Isom _E , R ( dom O , A ) ) )
70 68 69 syl 
 |-  ( ph -> ( O Isom _E , R ( dom O , ran O ) <-> O Isom _E , R ( dom O , A ) ) )
71 9 70 mpbid 
 |-  ( ph -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )