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Theorem rhmmpl

Description: Provide a ring homomorphism between two polynomial algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. Compare pwsco2rhm . (Contributed by SN, 8-Feb-2025)

Ref Expression
Hypotheses rhmmpl.p 
|- P = ( I mPoly R )
rhmmpl.q 
|- Q = ( I mPoly S )
rhmmpl.b 
|- B = ( Base ` P )
rhmmpl.f 
|- F = ( p e. B |-> ( H o. p ) )
rhmmpl.i 
|- ( ph -> I e. V )
rhmmpl.h 
|- ( ph -> H e. ( R RingHom S ) )
Assertion rhmmpl 
|- ( ph -> F e. ( P RingHom Q ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rhmmpl.p 
 |-  P = ( I mPoly R )
2 rhmmpl.q 
 |-  Q = ( I mPoly S )
3 rhmmpl.b 
 |-  B = ( Base ` P )
4 rhmmpl.f 
 |-  F = ( p e. B |-> ( H o. p ) )
5 rhmmpl.i 
 |-  ( ph -> I e. V )
6 rhmmpl.h 
 |-  ( ph -> H e. ( R RingHom S ) )
7 eqid 
 |-  ( 1r ` P ) = ( 1r ` P )
8 eqid 
 |-  ( 1r ` Q ) = ( 1r ` Q )
9 eqid 
 |-  ( .r ` P ) = ( .r ` P )
10 eqid 
 |-  ( .r ` Q ) = ( .r ` Q )
11 rhmrcl1 
 |-  ( H e. ( R RingHom S ) -> R e. Ring )
12 6 11 syl 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
13 1 5 12 mplringd 
 |-  ( ph -> P e. Ring )
14 rhmrcl2 
 |-  ( H e. ( R RingHom S ) -> S e. Ring )
15 6 14 syl 
 |-  ( ph -> S e. Ring )
16 2 5 15 mplringd 
 |-  ( ph -> Q e. Ring )
17 eqid 
 |-  { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
18 eqid 
 |-  ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
19 eqid 
 |-  ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
20 1 17 18 19 7 5 12 mpl1 
 |-  ( ph -> ( 1r ` P ) = ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
21 20 coeq2d 
 |-  ( ph -> ( H o. ( 1r ` P ) ) = ( H o. ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
22 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
23 eqid 
 |-  ( Base ` S ) = ( Base ` S )
24 22 23 rhmf 
 |-  ( H e. ( R RingHom S ) -> H : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) )
25 6 24 syl 
 |-  ( ph -> H : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) )
26 22 19 ringidcl 
 |-  ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
27 12 26 syl 
 |-  ( ph -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
28 22 18 ring0cl 
 |-  ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
29 12 28 syl 
 |-  ( ph -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
30 27 29 ifcld 
 |-  ( ph -> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
31 30 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
32 25 31 cofmpt 
 |-  ( ph -> ( H o. ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( H ` if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
33 fvif 
 |-  ( H ` if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( H ` ( 1r ` R ) ) , ( H ` ( 0g ` R ) ) )
34 eqid 
 |-  ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
35 19 34 rhm1 
 |-  ( H e. ( R RingHom S ) -> ( H ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` S ) )
36 6 35 syl 
 |-  ( ph -> ( H ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` S ) )
37 rhmghm 
 |-  ( H e. ( R RingHom S ) -> H e. ( R GrpHom S ) )
38 eqid 
 |-  ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
39 18 38 ghmid 
 |-  ( H e. ( R GrpHom S ) -> ( H ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
40 6 37 39 3syl 
 |-  ( ph -> ( H ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
41 36 40 ifeq12d 
 |-  ( ph -> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( H ` ( 1r ` R ) ) , ( H ` ( 0g ` R ) ) ) = if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` S ) , ( 0g ` S ) ) )
42 33 41 eqtrid 
 |-  ( ph -> ( H ` if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` S ) , ( 0g ` S ) ) )
43 42 mpteq2dv 
 |-  ( ph -> ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> ( H ` if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` S ) , ( 0g ` S ) ) ) )
44 21 32 43 3eqtrd 
 |-  ( ph -> ( H o. ( 1r ` P ) ) = ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` S ) , ( 0g ` S ) ) ) )
45 coeq2 
 |-  ( p = ( 1r ` P ) -> ( H o. p ) = ( H o. ( 1r ` P ) ) )
46 3 7 ringidcl 
 |-  ( P e. Ring -> ( 1r ` P ) e. B )
47 13 46 syl 
 |-  ( ph -> ( 1r ` P ) e. B )
48 6 47 coexd 
 |-  ( ph -> ( H o. ( 1r ` P ) ) e. _V )
49 4 45 47 48 fvmptd3 
 |-  ( ph -> ( F ` ( 1r ` P ) ) = ( H o. ( 1r ` P ) ) )
50 2 17 38 34 8 5 15 mpl1 
 |-  ( ph -> ( 1r ` Q ) = ( d e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( d = ( I X. { 0 } ) , ( 1r ` S ) , ( 0g ` S ) ) ) )
51 44 49 50 3eqtr4d 
 |-  ( ph -> ( F ` ( 1r ` P ) ) = ( 1r ` Q ) )
52 eqid 
 |-  ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
53 6 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> H e. ( R RingHom S ) )
54 simprl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
55 simprr 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
56 1 2 3 52 9 10 53 54 55 rhmcomulmpl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( ( H o. x ) ( .r ` Q ) ( H o. y ) ) )
57 coeq2 
 |-  ( p = ( x ( .r ` P ) y ) -> ( H o. p ) = ( H o. ( x ( .r ` P ) y ) ) )
58 13 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. Ring )
59 3 9 58 54 55 ringcld 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` P ) y ) e. B )
60 ovexd 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` P ) y ) e. _V )
61 53 60 coexd 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. ( x ( .r ` P ) y ) ) e. _V )
62 4 57 59 61 fvmptd3 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( H o. ( x ( .r ` P ) y ) ) )
63 coeq2 
 |-  ( p = x -> ( H o. p ) = ( H o. x ) )
64 53 54 coexd 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. x ) e. _V )
65 4 63 54 64 fvmptd3 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` x ) = ( H o. x ) )
66 coeq2 
 |-  ( p = y -> ( H o. p ) = ( H o. y ) )
67 53 55 coexd 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. y ) e. _V )
68 4 66 55 67 fvmptd3 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` y ) = ( H o. y ) )
69 65 68 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` Q ) ( F ` y ) ) = ( ( H o. x ) ( .r ` Q ) ( H o. y ) ) )
70 56 62 69 3eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` Q ) ( F ` y ) ) )
71 eqid 
 |-  ( +g ` P ) = ( +g ` P )
72 eqid 
 |-  ( +g ` Q ) = ( +g ` Q )
73 ghmmhm 
 |-  ( H e. ( R GrpHom S ) -> H e. ( R MndHom S ) )
74 6 37 73 3syl 
 |-  ( ph -> H e. ( R MndHom S ) )
75 74 adantr 
 |-  ( ( ph /\ p e. B ) -> H e. ( R MndHom S ) )
76 simpr 
 |-  ( ( ph /\ p e. B ) -> p e. B )
77 1 2 3 52 75 76 mhmcompl 
 |-  ( ( ph /\ p e. B ) -> ( H o. p ) e. ( Base ` Q ) )
78 77 4 fmptd 
 |-  ( ph -> F : B --> ( Base ` Q ) )
79 53 37 73 3syl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> H e. ( R MndHom S ) )
80 1 2 3 52 71 72 79 54 55 mhmcoaddmpl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. ( x ( +g ` P ) y ) ) = ( ( H o. x ) ( +g ` Q ) ( H o. y ) ) )
81 coeq2 
 |-  ( p = ( x ( +g ` P ) y ) -> ( H o. p ) = ( H o. ( x ( +g ` P ) y ) ) )
82 13 ringgrpd 
 |-  ( ph -> P e. Grp )
83 82 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. Grp )
84 3 71 83 54 55 grpcld 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` P ) y ) e. B )
85 ovexd 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` P ) y ) e. _V )
86 53 85 coexd 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( H o. ( x ( +g ` P ) y ) ) e. _V )
87 4 81 84 86 fvmptd3 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` P ) y ) ) = ( H o. ( x ( +g ` P ) y ) ) )
88 65 68 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` Q ) ( F ` y ) ) = ( ( H o. x ) ( +g ` Q ) ( H o. y ) ) )
89 80 87 88 3eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` P ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` Q ) ( F ` y ) ) )
90 3 7 8 9 10 13 16 51 70 52 71 72 78 89 isrhmd 
 |-  ( ph -> F e. ( P RingHom Q ) )