Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
utopreg.1 |
|- J = ( unifTop ` U ) |
2 |
|
utoptop |
|- ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( unifTop ` U ) e. Top ) |
3 |
2
|
adantr |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> ( unifTop ` U ) e. Top ) |
4 |
1 3
|
eqeltrid |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Top ) |
5 |
|
simp-4l |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) ) |
6 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> J e. Top ) |
7 |
5 6
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> J e. Top ) |
8 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w e. U ) |
9 |
|
simp-4l |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> U e. ( UnifOn ` X ) ) |
10 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> w e. U ) |
11 |
4
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> J e. Top ) |
12 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a e. J ) |
13 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
14 |
13
|
eltopss |
|- ( ( J e. Top /\ a e. J ) -> a C_ U. J ) |
15 |
11 12 14
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ U. J ) |
16 |
|
utopbas |
|- ( U e. ( UnifOn ` X ) -> X = U. ( unifTop ` U ) ) |
17 |
1
|
unieqi |
|- U. J = U. ( unifTop ` U ) |
18 |
16 17
|
eqtr4di |
|- ( U e. ( UnifOn ` X ) -> X = U. J ) |
19 |
9 18
|
syl |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> X = U. J ) |
20 |
15 19
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ X ) |
21 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. a ) |
22 |
20 21
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. X ) |
23 |
1
|
utopsnnei |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) |
24 |
9 10 22 23
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) |
25 |
5 8 24
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) |
26 |
|
neii2 |
|- ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) |
27 |
7 25 26
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) |
28 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> { x } C_ b ) |
29 |
|
vex |
|- x e. _V |
30 |
29
|
snss |
|- ( x e. b <-> { x } C_ b ) |
31 |
28 30
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. b ) |
32 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> J e. Top ) |
33 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> U e. ( UnifOn ` X ) ) |
34 |
5 33
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> U e. ( UnifOn ` X ) ) |
35 |
34
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> U e. ( UnifOn ` X ) ) |
36 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> w e. U ) |
37 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. J ) |
38 |
6 37 14
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ U. J ) |
39 |
33 18
|
syl |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> X = U. J ) |
40 |
38 39
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ X ) |
41 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. a ) |
42 |
40 41
|
sseldd |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. X ) |
43 |
42
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. X ) |
44 |
|
ustimasn |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) C_ X ) |
45 |
35 36 43 44
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ X ) |
46 |
35 18
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> X = U. J ) |
47 |
45 46
|
sseqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ U. J ) |
48 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> b C_ ( w " { x } ) ) |
49 |
13
|
clsss |
|- ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) C_ U. J /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) ) |
50 |
32 47 48 49
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) ) |
51 |
|
ustssxp |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ w e. U ) -> w C_ ( X X. X ) ) |
52 |
34 8 51
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( X X. X ) ) |
53 |
34 18
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> X = U. J ) |
54 |
53
|
sqxpeqd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( X X. X ) = ( U. J X. U. J ) ) |
55 |
52 54
|
sseqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( U. J X. U. J ) ) |
56 |
5 38
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> a C_ U. J ) |
57 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. a ) |
58 |
56 57
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. U. J ) |
59 |
13 13
|
imasncls |
|- ( ( ( J e. Top /\ J e. Top ) /\ ( w C_ ( U. J X. U. J ) /\ x e. U. J ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) ) |
60 |
7 7 55 58 59
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) ) |
61 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> `' w = w ) |
62 |
1
|
utop3cls |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ w C_ ( X X. X ) ) /\ ( w e. U /\ `' w = w ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) ) |
63 |
34 52 8 61 62
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) ) |
64 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) |
65 |
63 64
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v ) |
66 |
|
imass1 |
|- ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) ) |
67 |
65 66
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) ) |
68 |
60 67
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) ) |
69 |
68
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) ) |
70 |
50 69
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( v " { x } ) ) |
71 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> a = ( v " { x } ) ) |
72 |
70 71
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) |
73 |
31 72
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) |
74 |
73
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) -> ( ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) ) |
75 |
74
|
reximdva |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) ) |
76 |
27 75
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) |
77 |
|
simp-5l |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> U e. ( UnifOn ` X ) ) |
78 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> v e. U ) |
79 |
|
ustex3sym |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ v e. U ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) |
80 |
77 78 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) |
81 |
76 80
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) |
82 |
|
opnneip |
|- ( ( J e. Top /\ a e. J /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) |
83 |
6 37 41 82
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) |
84 |
1
|
utopsnneip |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ x e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) ) |
85 |
33 42 84
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) ) |
86 |
83 85
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) ) |
87 |
|
eqid |
|- ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) = ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) |
88 |
87
|
elrnmpt |
|- ( a e. J -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) ) |
89 |
37 88
|
syl |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) ) |
90 |
86 89
|
mpbid |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) |
91 |
81 90
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) |
92 |
91
|
ralrimiva |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) -> A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) |
93 |
92
|
ralrimiva |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) |
94 |
|
isreg |
|- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) ) |
95 |
4 93 94
|
sylanbrc |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Reg ) |