Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
utopreg.1 |
⊢ 𝐽 = ( unifTop ‘ 𝑈 ) |
2 |
|
utoptop |
⊢ ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) → ( unifTop ‘ 𝑈 ) ∈ Top ) |
3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) → ( unifTop ‘ 𝑈 ) ∈ Top ) |
4 |
1 3
|
eqeltrid |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) → 𝐽 ∈ Top ) |
5 |
|
simp-4l |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ) |
6 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → 𝐽 ∈ Top ) |
7 |
5 6
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝐽 ∈ Top ) |
8 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑈 ) |
9 |
|
simp-4l |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) → 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ) |
10 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) → 𝑤 ∈ 𝑈 ) |
11 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) → 𝐽 ∈ Top ) |
12 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) → 𝑎 ∈ 𝐽 ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽 |
14 |
13
|
eltopss |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
15 |
11 12 14
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
16 |
|
utopbas |
⊢ ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋 = ∪ ( unifTop ‘ 𝑈 ) ) |
17 |
1
|
unieqi |
⊢ ∪ 𝐽 = ∪ ( unifTop ‘ 𝑈 ) |
18 |
16 17
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 ) |
19 |
9 18
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 ) |
20 |
15 19
|
sseqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) → 𝑎 ⊆ 𝑋 ) |
21 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) → 𝑥 ∈ 𝑎 ) |
22 |
20 21
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
23 |
1
|
utopsnnei |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ) |
24 |
9 10 22 23
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) → ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ) |
25 |
5 8 24
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ) |
26 |
|
neii2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐽 ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) |
27 |
7 25 26
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐽 ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) |
28 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ) |
29 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
30 |
29
|
snss |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑏 ↔ { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ) |
31 |
28 30
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑏 ) |
32 |
7
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → 𝐽 ∈ Top ) |
33 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ) |
34 |
5 33
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ) |
35 |
34
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ) |
36 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝑈 ) |
37 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → 𝑎 ∈ 𝐽 ) |
38 |
6 37 14
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
39 |
33 18
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 ) |
40 |
38 39
|
sseqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → 𝑎 ⊆ 𝑋 ) |
41 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → 𝑥 ∈ 𝑎 ) |
42 |
40 41
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
43 |
42
|
ad6antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
44 |
|
ustimasn |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ⊆ 𝑋 ) |
45 |
35 36 43 44
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ⊆ 𝑋 ) |
46 |
35 18
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 ) |
47 |
45 46
|
sseqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ⊆ ∪ 𝐽 ) |
48 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) |
49 |
13
|
clsss |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) |
50 |
32 47 48 49
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) |
51 |
|
ustssxp |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) → 𝑤 ⊆ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) |
52 |
34 8 51
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑤 ⊆ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) |
53 |
34 18
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 ) |
54 |
53
|
sqxpeqd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( 𝑋 × 𝑋 ) = ( ∪ 𝐽 × ∪ 𝐽 ) ) |
55 |
52 54
|
sseqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑤 ⊆ ( ∪ 𝐽 × ∪ 𝐽 ) ) |
56 |
5 38
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑎 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
57 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑎 ) |
58 |
56 57
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ) |
59 |
13 13
|
imasncls |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top ) ∧ ( 𝑤 ⊆ ( ∪ 𝐽 × ∪ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ) ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ⊆ ( ( ( cls ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ‘ 𝑤 ) “ { 𝑥 } ) ) |
60 |
7 7 55 58 59
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ⊆ ( ( ( cls ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ‘ 𝑤 ) “ { 𝑥 } ) ) |
61 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ◡ 𝑤 = 𝑤 ) |
62 |
1
|
utop3cls |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝑈 ∧ ◡ 𝑤 = 𝑤 ) ) → ( ( cls ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ‘ 𝑤 ) ⊆ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ) |
63 |
34 52 8 61 62
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( ( cls ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ‘ 𝑤 ) ⊆ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ) |
64 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) |
65 |
63 64
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( ( cls ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ‘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) |
66 |
|
imass1 |
⊢ ( ( ( cls ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ‘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 → ( ( ( cls ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ‘ 𝑤 ) “ { 𝑥 } ) ⊆ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) |
67 |
65 66
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( ( ( cls ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ‘ 𝑤 ) “ { 𝑥 } ) ⊆ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) |
68 |
60 67
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ⊆ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) |
69 |
68
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ⊆ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) |
70 |
50 69
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) |
71 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) |
72 |
70 71
|
sseqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ 𝑎 ) |
73 |
31 72
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) ∧ ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ 𝑎 ) ) |
74 |
73
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) → ( ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ 𝑎 ) ) ) |
75 |
74
|
reximdva |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝐽 ( { 𝑥 } ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑤 “ { 𝑥 } ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ 𝑎 ) ) ) |
76 |
27 75
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈 ) ∧ ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ 𝑎 ) ) |
77 |
|
simp-5l |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) → 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ) |
78 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) → 𝑣 ∈ 𝑈 ) |
79 |
|
ustex3sym |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) → ∃ 𝑤 ∈ 𝑈 ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) |
80 |
77 78 79
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) → ∃ 𝑤 ∈ 𝑈 ( ◡ 𝑤 = 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∘ ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ) ⊆ 𝑣 ) ) |
81 |
76 80
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ 𝑎 ) ) |
82 |
|
opnneip |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → 𝑎 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ) |
83 |
6 37 41 82
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → 𝑎 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ) |
84 |
1
|
utopsnneip |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) = ran ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ) |
85 |
33 42 84
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) = ran ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ) |
86 |
83 85
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → 𝑎 ∈ ran ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ) |
87 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) = ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) |
88 |
87
|
elrnmpt |
⊢ ( 𝑎 ∈ 𝐽 → ( 𝑎 ∈ ran ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑈 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ) |
89 |
37 88
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → ( 𝑎 ∈ ran ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑈 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) ) |
90 |
86 89
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝑈 𝑎 = ( 𝑣 “ { 𝑥 } ) ) |
91 |
81 90
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ 𝑎 ) ) |
92 |
91
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑎 ∃ 𝑏 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ 𝑎 ) ) |
93 |
92
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝐽 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎 ∃ 𝑏 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ 𝑎 ) ) |
94 |
|
isreg |
⊢ ( 𝐽 ∈ Reg ↔ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐽 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎 ∃ 𝑏 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑏 ) ⊆ 𝑎 ) ) ) |
95 |
4 93 94
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐽 ∈ Haus ) → 𝐽 ∈ Reg ) |