Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
uvtxel.v |
|- V = ( Vtx ` G ) |
2 |
|
isuvtx.e |
|- E = ( Edg ` G ) |
3 |
1
|
uvtxval |
|- ( UnivVtx ` G ) = { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } |
4 |
3
|
a1i |
|- ( E = (/) -> ( UnivVtx ` G ) = { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } ) |
5 |
4
|
neeq1d |
|- ( E = (/) -> ( ( UnivVtx ` G ) =/= (/) <-> { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } =/= (/) ) ) |
6 |
|
rabn0 |
|- ( { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } =/= (/) <-> E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) |
7 |
6
|
a1i |
|- ( E = (/) -> ( { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } =/= (/) <-> E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) |
8 |
|
falseral0 |
|- ( ( A. n -. n e. (/) /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) -> ( V \ { v } ) = (/) ) |
9 |
8
|
ex |
|- ( A. n -. n e. (/) -> ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) -> ( V \ { v } ) = (/) ) ) |
10 |
|
noel |
|- -. n e. (/) |
11 |
9 10
|
mpg |
|- ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) -> ( V \ { v } ) = (/) ) |
12 |
|
ssdif0 |
|- ( V C_ { v } <-> ( V \ { v } ) = (/) ) |
13 |
|
sssn |
|- ( V C_ { v } <-> ( V = (/) \/ V = { v } ) ) |
14 |
|
ne0i |
|- ( v e. V -> V =/= (/) ) |
15 |
|
eqneqall |
|- ( V = (/) -> ( V =/= (/) -> V = { v } ) ) |
16 |
14 15
|
syl5 |
|- ( V = (/) -> ( v e. V -> V = { v } ) ) |
17 |
|
ax-1 |
|- ( V = { v } -> ( v e. V -> V = { v } ) ) |
18 |
16 17
|
jaoi |
|- ( ( V = (/) \/ V = { v } ) -> ( v e. V -> V = { v } ) ) |
19 |
13 18
|
sylbi |
|- ( V C_ { v } -> ( v e. V -> V = { v } ) ) |
20 |
12 19
|
sylbir |
|- ( ( V \ { v } ) = (/) -> ( v e. V -> V = { v } ) ) |
21 |
11 20
|
syl |
|- ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) -> ( v e. V -> V = { v } ) ) |
22 |
21
|
impcom |
|- ( ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) -> V = { v } ) |
23 |
|
vsnid |
|- v e. { v } |
24 |
|
eleq2 |
|- ( V = { v } -> ( v e. V <-> v e. { v } ) ) |
25 |
23 24
|
mpbiri |
|- ( V = { v } -> v e. V ) |
26 |
|
ralel |
|- A. n e. (/) n e. (/) |
27 |
|
difeq1 |
|- ( V = { v } -> ( V \ { v } ) = ( { v } \ { v } ) ) |
28 |
|
difid |
|- ( { v } \ { v } ) = (/) |
29 |
27 28
|
eqtrdi |
|- ( V = { v } -> ( V \ { v } ) = (/) ) |
30 |
29
|
raleqdv |
|- ( V = { v } -> ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) <-> A. n e. (/) n e. (/) ) ) |
31 |
26 30
|
mpbiri |
|- ( V = { v } -> A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) |
32 |
25 31
|
jca |
|- ( V = { v } -> ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) ) |
33 |
22 32
|
impbii |
|- ( ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) <-> V = { v } ) |
34 |
33
|
a1i |
|- ( E = (/) -> ( ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) <-> V = { v } ) ) |
35 |
34
|
exbidv |
|- ( E = (/) -> ( E. v ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) <-> E. v V = { v } ) ) |
36 |
2
|
eqeq1i |
|- ( E = (/) <-> ( Edg ` G ) = (/) ) |
37 |
|
nbgr0edg |
|- ( ( Edg ` G ) = (/) -> ( G NeighbVtx v ) = (/) ) |
38 |
36 37
|
sylbi |
|- ( E = (/) -> ( G NeighbVtx v ) = (/) ) |
39 |
38
|
eleq2d |
|- ( E = (/) -> ( n e. ( G NeighbVtx v ) <-> n e. (/) ) ) |
40 |
39
|
rexralbidv |
|- ( E = (/) -> ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) ) |
41 |
|
df-rex |
|- ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) <-> E. v ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) ) |
42 |
40 41
|
bitrdi |
|- ( E = (/) -> ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> E. v ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) ) ) |
43 |
1
|
fvexi |
|- V e. _V |
44 |
|
hash1snb |
|- ( V e. _V -> ( ( # ` V ) = 1 <-> E. v V = { v } ) ) |
45 |
43 44
|
mp1i |
|- ( E = (/) -> ( ( # ` V ) = 1 <-> E. v V = { v } ) ) |
46 |
35 42 45
|
3bitr4d |
|- ( E = (/) -> ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( # ` V ) = 1 ) ) |
47 |
5 7 46
|
3bitrd |
|- ( E = (/) -> ( ( UnivVtx ` G ) =/= (/) <-> ( # ` V ) = 1 ) ) |