cdlemk11u

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 17, p. 119, showing Eq. 3 (line 8, p. 119) for the sigma_1 ( U ) case. (Contributed by NM, 4-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk1.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
	cdlemk1.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
	cdlemk1.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
	cdlemk1.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
	cdlemk1.a	$⊢ A = Atoms (K)$
	cdlemk1.h	$⊢ H = LHyp (K)$
	cdlemk1.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
	cdlemk1.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
	cdlemk1.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
	cdlemk1.o	$⊢ O = S (D)$
	cdlemk1.u	$⊢ U = (e \in T ⟼ (ι j \in T \| j (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (e)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (e \circ D^{-1}))))$
	cdlemk1.v	$⊢ V = (G (P) \underset{˙}{\lor} X (P)) \underset{˙}{\land} (R (G \circ D^{-1}) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}))$
Assertion	cdlemk11u	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to U (G) (P) \underset{˙}{\leq} (U (X) (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ G^{-1}))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk1.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
2		cdlemk1.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
3		cdlemk1.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
4		cdlemk1.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
5		cdlemk1.a	$⊢ A = Atoms (K)$
6		cdlemk1.h	$⊢ H = LHyp (K)$
7		cdlemk1.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
8		cdlemk1.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
9		cdlemk1.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
10		cdlemk1.o	$⊢ O = S (D)$
11		cdlemk1.u	$⊢ U = (e \in T ⟼ (ι j \in T \| j (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (e)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (e \circ D^{-1}))))$
12		cdlemk1.v	$⊢ V = (G (P) \underset{˙}{\lor} X (P)) \underset{˙}{\land} (R (G \circ D^{-1}) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}))$
13		simp11l	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to K \in HL$
14	13	hllatd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to K \in Lat$
15		simp11r	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to W \in H$
16	13 15	jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (K \in HL \land W \in H)$
17		simp23	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (F) = R (N)$
18		simp212	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to G \in T$
19		simp12	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to F \in T$
20		simp13	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to D \in T$
21		simp211	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to N \in T$
22		simp331	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (D) \neq R (F)$
23		simp332	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (G) \neq R (D)$
24	23	necomd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (D) \neq R (G)$
25	22 24	jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G))$
26		simp311	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to F \neq {I ↾}_{B}$
27		simp313	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to G \neq {I ↾}_{B}$
28		simp312	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to D \neq {I ↾}_{B}$
29	26 27 28	3jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B})$
30		simp22	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W)$
31	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemkuat	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to U (G) (P) \in A$
32	16 17 18 19 20 21 25 29 30 31	syl333anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to U (G) (P) \in A$
33	1 5	atbase	$⊢ U (G) (P) \in A \to U (G) (P) \in B$
34	32 33	syl	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to U (G) (P) \in B$
35		simp213	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to X \in T$
36		simp333	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (X) \neq R (D)$
37	36	necomd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (D) \neq R (X)$
38	22 37	jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (X))$
39		simp32	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to X \neq {I ↾}_{B}$
40	26 39 28	3jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (F \neq {I ↾}_{B} \land X \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B})$
41	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemkuat	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land X \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (X)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land X \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to U (X) (P) \in A$
42	16 17 35 19 20 21 38 40 30 41	syl333anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to U (X) (P) \in A$
43	1 5	atbase	$⊢ U (X) (P) \in A \to U (X) (P) \in B$
44	42 43	syl	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to U (X) (P) \in B$
45		simp22l	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to P \in A$
46	1 2 3 5 6 7 8 4 12	cdlemkvcl	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land (D \in T \land G \in T \land X \in T) \land P \in A) \to V \in B$
47	13 15 20 18 35 45 46	syl231anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to V \in B$
48	1 3	latjcl	$⊢ (K \in Lat \land U (X) (P) \in B \land V \in B) \to U (X) (P) \underset{˙}{\lor} V \in B$
49	14 44 47 48	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to U (X) (P) \underset{˙}{\lor} V \in B$
50	6 7	ltrncnv	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land G \in T) \to G^{-1} \in T$
51	16 18 50	syl2anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to G^{-1} \in T$
52	6 7	ltrnco	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land X \in T \land G^{-1} \in T) \to X \circ G^{-1} \in T$
53	16 35 51 52	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to X \circ G^{-1} \in T$
54	1 6 7 8	trlcl	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land X \circ G^{-1} \in T) \to R (X \circ G^{-1}) \in B$
55	16 53 54	syl2anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (X \circ G^{-1}) \in B$
56	1 3	latjcl	$⊢ (K \in Lat \land U (X) (P) \in B \land R (X \circ G^{-1}) \in B) \to U (X) (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ G^{-1}) \in B$
57	14 44 55 56	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to U (X) (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ G^{-1}) \in B$
58	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	cdlemk7u	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to U (G) (P) \underset{˙}{\leq} (U (X) (P) \underset{˙}{\lor} V)$
59	1 2 3 5 6 7 8 4 12	cdlemk10	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land (D \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W)) \to V \underset{˙}{\leq} R (X \circ G^{-1})$
60	13 15 20 18 35 30 59	syl231anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to V \underset{˙}{\leq} R (X \circ G^{-1})$
61	1 2 3	latjlej2	$⊢ (K \in Lat \land (V \in B \land R (X \circ G^{-1}) \in B \land U (X) (P) \in B)) \to (V \underset{˙}{\leq} R (X \circ G^{-1}) \to (U (X) (P) \underset{˙}{\lor} V) \underset{˙}{\leq} (U (X) (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ G^{-1})))$
62	14 47 55 44 61	syl13anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (V \underset{˙}{\leq} R (X \circ G^{-1}) \to (U (X) (P) \underset{˙}{\lor} V) \underset{˙}{\leq} (U (X) (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ G^{-1})))$
63	60 62	mpd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (U (X) (P) \underset{˙}{\lor} V) \underset{˙}{\leq} (U (X) (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ G^{-1}))$
64	1 2 14 34 49 57 58 63	lattrd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land X \neq {I ↾}_{B} \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to U (G) (P) \underset{˙}{\leq} (U (X) (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ G^{-1}))$

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Theorem cdlemk11u

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